โจทย์ในรอบนี้ เรียงข้อตามลำดับคะแนน บางข้อโพสต์ตามที่ผู้ออกโจทย์เสนอโดยไม่ได้แปลเป็นภาษาไทย
โปรดศึกษากติกาและวิธีการตอบให้เข้าใจในกระทู้กฎ กติกา มารยาท ก่อนตอบหรือตั้งคำถามด้วยครับ
หากมีข้อสงสัยหรือเสนอแนะเกี่ยวกับโจทย์และการส่งคำตอบ สามารถถามได้ในกระทู้นี้จนถึงเวลา 22:30 น. วันศุกร์ที่ 15 พฤษภาคม 2552 เท่านั้น
และจะไม่รับการถามทางข้อความส่วนตัว
เจ้าของโจทย์ สามารถมาช่วยตอบข้อสงสัยได้ตามสมควร โดยไม่ต้องรอให้ผู้ดูแลเป็นผู้ตอบ แต่ห้ามใบ้หรือชี้แนะวิธีทำเด็ดขาดไม่ว่าจะโดยวิธีใดก็ตาม
หมดเวลาส่งคำตอบ: ขยายจากเดิมเป็นวันจันทร์ที่ 15 มิถุนายน 2552 เวลา 22:30 น.
คะแนนเต็มสูงสุด 28 คะแนน
1. (5 คะแนน) ให้ $m,n$ เป็นจำนวนนับ จงพิสูจน์ว่า $$m^{m^{m^m}}+n^{n^{n^n}}\geq m^{n^{n^n}}+n^{m^{m^m}}$$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)
2. (5 คะแนน) Find the locus of points $P$ in the plane of a square $ABCD$ such that $$\max\{ PA,\ PC\}=\frac12(PB+PD).$$
(เสนอโดยคุณ Anonymous314)
3. (5 คะแนน) Prove that for each $k$ points in the plane, no three collinear and having integral distances from each other. If we have an infinite set of points with integral distances from each other, then all points are colinear.
(เสนอโดยคุณ Anonymous314)
4. (6 คะแนน) Let $x,y,z\in \mathbb{R}^+_0$ such that $xy+yz+zx=1$. Prove that $$\frac{1}{\sqrt{x+y}}+\frac{1}{\sqrt{y+z}}+\frac{1}{\sqrt{z+x}}\ge 2+\frac{1}{\sqrt{2}}.$$
(เสนอโดยคุณ Anonymous314)
5. (7 คะแนน) For $n\in\mathbb{N}$, prove that $2^n$ can begin with any sequence of digits.
Hint: $\log 2$ is irrational number.
(เสนอโดยคุณ Anonymous314)
คะแนนเต็มสูงสุด 14 คะแนน
1. (3 คะแนน) จงหาค่าของ $$(0^3-738)(1^3-737)(2^3-736)\cdots (736^3-2)(737^3-1)(738^3-0)$$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)
2. (5 คะแนน) กำหนดลำดับ 1,1,1,3,3,3,5,6,7,a,b,c,9,15,21,11,21,31,...
จงหาค่าของ a-2b+c
(เสนอโดยคุณ [SIL])
3. (3+3 คะแนน) เด็ก 25 คนกำลังวิ่งเล่นอยู่นอกบ้าทนหลังหนึ่งซึ่งมีประตู 52 บานอยู่รอบบ้าน พอประตูทั้งหมดเปิดเด็กทั้งหมดก็เข้าๆออกๆบ้านไปเล่น
ถ้านับจำนวนครั้งที่เด็กเข้าและออกบ้านได้ 2552 ครั้ง แต่ไม่รู้ว่าแต่ล่ะคนเข้าและออกกี่ครั้ง แล้วปิดประตูทั้งหมด
1. จะเป็นไปได้หรือไม่ที่มีเด็ก 25 คน อยู่นอกบ้านและ ไม่มีเด็กอยู่ในบ้าน
2. จะเป็นไปได้หรือไม่ที่มีเด็ก 25 คน อยู่ในบ้าน และไม่มีเด็กอยู่นอกบ้าน
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
คะแนนเต็มสูงสุด 22 คะแนน
1. (4 คะแนน)จากรูป $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยที่ $AE=EC$ และ $DC=2BD$ จงหาอัตราส่วนของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม $EFDC$ ต่อพื้นที่สามเหลี่ยม $BFD$
(เสนอโดยคุณ Mercedesbenz)
2. (4 คะแนน) มีจำนวนเต็มบวกกี่จำนวนที่เป็นตัวประกอบของของ $(1)(2009)+(2)(2010)+(3)(2011)+\dots+(543)(2551)$
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
3. (4 คะแนน) รูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีคุณสมบัติว่า
ถ้าความกว้างเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 75% ถ้าความยาวเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 50% แต่ถ้าความสูงเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 25%
จงหาพื้นที่ผิวของรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้
(เสนอโดยคุณ Mathophile)
4. (5 คะแนน) จงหาคำตอบทั้งหมดที่เป็นจำนวนเต็มของสมการ $\sqrt{x-1}+\sqrt[3]{x+3}=4$
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
5. (5 คะแนน) จงหาค่าของ $\frac{-xy}{z}$ จากสมการ $$(5x^2+15x+25)(6y^2+8y+4)(5z^2+2z+2) = 33$$
(เสนอโดยคุณ [SIL])
คะแนนเต็มสูงสุด 25 คะแนน
1. (3 คะแนน) จงแสดงว่า $2^n$ ไม่ลงท้ายด้วย $2552$ ทุกจำนวนนับ $n$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)
2. (4 คะแนน) จงหาจำนวนจริงทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $$\sqrt[4]{2-\sqrt[3]{2+\sqrt{x}}}+\sqrt[4]{2+\sqrt[3]{2+\sqrt{x}}}=\sqrt{2}$$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)
3. (4 คะแนน) กำหนดให้ $A$ เป็นเซตที่เล็กที่สุดที่ซึ่ง $\{\{1,2\},\{3\}\}\in A\cap P(A)$ และ $\{\{1,\{2\},\{3\}\}\}\subset A\cap P(A)$
จงหาจำนวนคู่อันดับ $(a,b)$ โดยที่ $a,b\in A$ และ $a\not= b$ และมีคุณสมบัติว่า $a\in b$ หรือ $a\subset b$
(เสนอโดยคุณ Mathophile)
4. (4 คะแนน) กำหนดลำดับ 1,3,5,3,5,7,5,7,9,... จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต 696 พจน์แรกของลำดับนี้
(เสนอโดยคุณ [SIL])
5. (5 คะแนน) กำหนดรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC และจุด D, E, F บนส่วนของเส้นตรง BC, AB และ AD ตามลำดับ
โดยที่ $CD = \frac{1}{3}BC$ , $BE = \frac{1}{3}AE$ และ $AF = \frac{1}{3}AD$
จงหาความยาวด้านที่สั้นที่สุดของรูปสามเหลี่ยม DEF ในเทอมของ AB
(เสนอโดยคุณ Mathophile)
6. (5 คะแนน) จงหาจำนวนนับ $n$ ทั้งหมดซึ่งทำให้ $$\sin{A},\sin{2A},...,\sin{nA}$$ เป็นลำดับเลขคณิต สำหรับบางจำนวนจริง $A\in (0,\pi)$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)
ขอให้สนุกกับการแก้โจทย์ปัญหาครับ
