อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ WLOG
สวัสดีเจ้าค่ะ บังเอิญเพิ่งใช้บอร์ดเป็นครั้งแรก เลยอยากลอง $LaTeX$ บ้างอะค่ะ เรามีอสมการที่แข็งกว่าเดิมดังนี้ค่ะ (โจทย์ดังเดิมนับว่าง่ายมาก)
สำหรับ $a,b,c \in \mathbb{R}^+_0$
$$\sum\limits_{cyc} {\sqrt[3]{{\frac{a}{{b + c}}}}} \ge 2 \sqrt{\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+1} \ge 2 $$
|
โจทย์ใหม่ก็ไม่ยากมากนะครับ bound แบบที่ผมทำข้อ $\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$ ก็ได้แล้ว
จาก
$\sum_{cyc} \sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}\geq \sum_{cyc}
\sqrt{\frac{a^\frac{2}{3}}{b^\frac{2}{3}+c^\frac{2}{3}}}$
จึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$\sum_{cyc} \sqrt{\frac {a^\frac{2}{3}}{b^\frac{2}{3}+c^\frac{2}{3}}}\geq 2 \sqrt{\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}+1} \ge 2$
แต่จากอสมการ holder เราได้ว่า
$(\sum_{cyc} \sqrt{\frac{a^\frac{2}{3}}{b^\frac{2}{3}+c^\frac{2}{3}}})^2(\sum_{cyc} a^\frac{4}{3}(b^\frac{2}{3}+c^\frac{2}{3}))\geq (sum_{cyc} a^\frac{2}{3})^3$
ก็เราเหลือจะต้องพิสูจน์ว่า (หลังจากใช้ schur กำจัด $4\sum_{sym} a^\frac{4}{3}b^\frac{2}{3}$)
$3(a+b)(b+c)(c+a)\geq 4(abc)^\frac{1}{3}(\sum_{sym} a^\frac{4}{3}b^\frac{2}{3})$
หรือ
$3\sum_{sym} x^6y^3+6x^3y^3z^3\geq 4\sum_{sym} x^5y^3z$
แต่จาก AM-GM เราได้ว่า $\sum_{cyc} (x^6y^3+x^6y^3+x^3y^3z^3)+(x^3y^6+x^3y^6+x^3y^3z^3)\geq 3\sum_{cyc} x^5y^3z+x^3y^5z$
ที่เหลือก็แค่พิสูจน์
$\sum_{sym} x^6y^3\geq \sum_{sym} x^5y^3z$ ซึ่งเป็นจริงอย่างเห็นได้ชัดครับ
(muirhead)
ขอโทษด้วยครับที่ spam