ข้อ 3 ครับ
เราต้องการพิสูจน์ว่า
\[
(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})^{2}\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})
\]
ซึ่งสมมูลกับ
\[
\frac{c^{2}-2ac+ac+ab}{a^{2}}+\frac{a^{2}-2ab+ab+bc}{b^{2}}+\frac{b^{2}-2bc+bc+ca}{c^{2}}\geq 3
\]
เราจะพิสูจน์อสมการนี้แทน
เนื่องจาก
\[
\displaystyle{\begin{array}{rcl}
LHS. &\geq& \frac{c^{2}-(a^{2}+c^{2})+ac+ab}{a^{2}}+\frac{a^{2}-(a^{2}+b^{2})+ab+bc}{b^{2}}+\frac{b^{2}-(b^{2}+c^{2})+bc+ca}{c^{2}}\\
&=&\frac{ab+ac-a^{2}}{a^{2}}+\frac{bc+ab-b^{2}}{b^{2}}+\frac{bc+ca-c^{2}}{c^{2}}\\
&=& \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}-3\\
&\geq& 6-3 \quad\text{(โดยอสมการ AM-GM)}\\
&=& 3
\end{array}}
\]
จะได้ว่าอสมการเป็นจริงตามต้องการ