[warutT]

จริงๆผมคิดว่าให้ตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0 อีกสองตัวเป็น 1 ก็น่าจะจริงทุก k>0 นะครับ

ผมลองเขียนวิธีมา ไม่แน่ใจนะครับ ไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่าตรงไหนผิดช่วยแก้ให้ด้วยนะครับ

$$\sum_{cyc}\left(\frac{a}{b+c}\right)^k\geq2$$

เป็น Homogenous function

เลือก $t=\dfrac{1}{a+b+c}$

ให้ $x= \dfrac{a}{a+b+c}$

$y= \dfrac{b}{a+b+c}$

$z= \dfrac{c}{a+b+c}$

จะพิจารณาอสมการ $$\sum_{cyc}\left(\frac{x}{y+z}\right)^k\geq2,x+y+z=1$$

AM-GM Inequality, $$\sum_{cyc}\left(\dfrac{x+(y+z)}{2}\right) \geq \sum_{cyc}(\sqrt{x(y+z)})$$

$$\sum_{cyc}\left(\dfrac{1}{2x}\right)\geq \sum_{cyc}\left(\sqrt{\dfrac{y+z}{x}}\right)$$

$$\sum_{cyc}\left(\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}\right) \geq \sum_{cyc}(2x)$$

$$\sum_{cyc}\left({\dfrac{x}{y+z}}\right)^k \geq \sum_{cyc}(2^kx^k)$$

สมมติว่ามี k>1 ที่สอดคล้องอสมการ

Powermean Inequality, $x^k+y^k+z^k \geq 3(\dfrac{x+y+z}{3})^k=\dfrac{1}{3^{k-1}}$

$\sum_{cyc}\left({\dfrac{x}{y+z}}\right)^k \geq 2^k\sum_{cyc}(x^k) \geq 3^{k-1}2^k \geq 2$

$\therefore 3^{k-1}2^{k-1} \geq 1$


หาค่า max{k} ไม่ได้