[beginner01]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ beginner01

จงหา $k\in\mathbb{R}$ ที่มากที่สุดที่สอดคล้องอสมการ
$$\sum_{cyc}\left(\frac{a}{b+c}\right)^k\geq2$$สำหรับทุก $a,b,c\geq0$

สำหรับคำตอบผมเองก็ไม่ทราบเหมือนกันครับ เลยมาถาม

เท่าที่รู้ก็คือมันเห็นได้ชัดว่าถ้ามีตัวนึงเป็น $0$ จะได้ว่า $$\sum_{cyc}\left(\frac{a}{b+c}\right)^k\geq2$$ ทันที

คราวนี้ก็เพียงพอที่จะพิจารณาเมื่อ $a,b,c>0$
แทนค่า $a=b=c$ ได้ว่า LHS$=3\left(\frac{1}{2}\right)^k$
เพื่อที่ว่า $LHS\geq 2$ ดังนั้น $3\left(\frac{1}{2}\right)^k\geq 2$
$\Leftrightarrow k\leq\log_{2}{3}-1$

มีคำถามเพื่ม ไม่รู้ว่าอาจจะเป็น hint สำหรับใครหรือเปล่า เลยซ่อนไว้ก่อนครับ

Hint?

เป็นไปได้หรือไม่ว่า เราจะแสดงว่า $$\sum_{cyc}\left(\frac{a}{b+c}\right)^k\geq3\left(\frac{1}{2}\right)^k$$สำหรับทุก $a,b,c>0$;$k>0$