ขอบคุณอีกครั้งครับ แต่มีเฉลยเฉพาะ Round 2 เท่านั้นเอง มิน่าคุณ Tony ถึงเอามาถาม
ข้อ 3. For each positive integer c, the sequence u
n of integers is defined by
u
1 = 1, u
2 = c, u
n = (2n + 1)u
n-1 - (n
2 - 1)u
n-2, (n
ณ 3).
For which values of c does this sequence have the property that u
i divides u
j
whenever i
ฃ j?
วิธีทำของผมเป็นดังนี้ครับ (ใครมีวิธีที่ดีกว่าก็ช่วยบอกกันด้วยนะ)
ถ้า u
1 = 1, u
2 = c เราจะได้ u
3 = 7c - 8
เนื่องจาก u
2 ต้องหาร u
3 ลงตัว ดังนั้น c | 8
แสดงว่าค่า c ที่เป็นไปได้คือ 1, 2, 4, 8 เท่านั้น
ถ้า c = 1 จะได้ u
5 = -240 หาร u
6 = -2280 ไม่ลงตัว ดังนั้น c = 1 ใช้ไม่ได้
ถ้า c = 8 จะได้ u
3 = 48 หาร u
4 = 312 ไม่ลงตัว ดังนั้น c = 8 ใช้ไม่ได้
ถ้า c = 2 เราจะได้ว่า u
n = n! และถ้า c = 4 เราจะได้ว่า u
n = (n + 2)!/6
(พิสูจน์โดย induction) ดังนั้นสำหรับทั้งสองกรณีนี้ u
i | u
j "i
ฃ j ตามต้องการครับ
