อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SpammingMan
เอาโจทย์มาเพิ่ม...
$a,b,c\geq 0$
$a+b+c=3$
$\sum_{cyc} \frac{a-1}{a^2+3}<\frac{1}{6}$
|
ได้ว่าโจทย์สมมูลกับ
$\displaystyle\sum_{cyc} \frac{6a-6}{a^2+3}<1$
$\displaystyle\Leftrightarrow\sum_{cyc} \frac{(b+c)^2}{a^2+3}>2$
จากอสมการโคชีได้ว่า
$\displaystyle\sum_{cyc} \frac{(b+c)^2}{a^2+3}\geq\frac{4(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+9}=\frac{18+2(a^2+b^2+c^2)+4(ab+bc+ca)}{9+a^2+b^2+c^2}=2+\frac{4(ab+bc+ca )}{9+a^2+b^2+c^2}$
หาก $ab+bc+ca=0$ ก็ต่อเมื่อมีอย่างน้อยสองตัวจาก $a,b,c$ ที่เท่ากับ 0 ซึ่งจะทำให้ $\displaystyle\sum_{cyc} \frac{a-1}{a^2+3}=-\frac{1}{2}<\frac{1}{6}$
หาก $ab+bc+ca>0$ ดังนั้น $\displaystyle2+\frac{4(ab+bc+ca)}{9+a^2+b^2+c^2}>2$
จากทั้ง 2 กรณี ดังนั้น $\displaystyle\sum_{cyc} \frac{a-1}{a^2+3}<\frac{1}{6}$ ตามต้องการ