ที่ผมทำนะครับ
มัธยมต้น
อ้างอิง:
4. (5 คะแนน) จงหาคำตอบทั้งหมดที่เป็นจำนวนเต็มของสมการ $\sqrt{x-1}+\sqrt[3]{x+3}=4$
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
|
ให้ $ \ \ \ \ A = \sqrt[3]{(X+3)} $
$A^3 = X+3 $
$A^3 - 4 = X-1$
$\sqrt{A^3 - 4} =\sqrt{(X-1)} $
แทนค่า ใน $\sqrt{x-1} +\sqrt[3]{x+3} = 4 $
จะได้ $\sqrt{A^3 - 4} + A = 4 $
จะได้ $\sqrt{A^3 - 4} = 4 - A $
จะได้ $A^3 - 4 = 16 - 8A + A^2 $
$A^3 -A^2 +8A = 20$
$ A(A^2 -A+8) = 20$
$ A(A^2 -A+8) = (2\times 10), \ \ (-2)\times (-10), \ \ (1\times 20), \ \ (-1)\times (-20), \ \ (4)\times (5), \ \ (-4\times -5)$
.
.
.
.
ซึ่งจะได้ A ที่เป็นจำนวนเต็ม คือ $\pm 1, \ \ \pm 2, \ \ \pm 4, \ \ \pm 5, \ \pm 10, \ \ \pm 20, \ \ 3 $
และ A ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มคือ
$\frac{1}{2} (1\pm 3 i \sqrt{3}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{35}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{71}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{23}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{39}), \ \ $
$ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{111}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{15}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{47}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{11}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{51}), \ \ $
ทุกกรณีข้างต้น เมื่อแทนค่า A ในสมการ $A^3 = X+3 $ แล้ว
$x = 5 $ เท่านั้นที่ทำให้ สมการ $\sqrt{x-1} +\sqrt[3]{x+3} = 4 $ เป็นจริงตามเงื่อนไขที่โจทย์กำหนด (จำนวนเต็ม)
ดังนั้น $X = 5 $