[MYSTICA]

โอเค...งั้นดูนี่หน่อยครับ

1⁵ + 2⁵ + 3⁵ + 4⁵ + . . . + 100⁵ = ( 1⁵ + 3⁵ + 5⁵ + . . . + 99⁵) + (2⁵ + 4⁵ + 6⁵ + . . . + 100⁵)

ในวงเล็บหลังเราไม่ต้องพิจารณาก็ได้เพราะ 4 หารลงตัวอยู่แล้ว เพราะฉะนั้นเราพิจารณาแค่วงเล็บหน้าก็พอ ตรงนี้แหละครับ ดูดีๆว่า

1⁵ บ 1(mod 4)
3⁵ = (2 + 1)⁵ = 2⁵ + . . . + C(5, 3)2² + 5x2 + 1 บ 3(mod 4)
5⁵ = (4 + 1)⁵ บ 1(mod 4)
7⁵ = (4 + 3)⁵ บ 3⁵(mod 4) บ 3(mod 4)
9⁵ = (2x4 + 1)⁵ บ 1(mod 4)
11⁵ = (2x4 + 3)⁵ บ 3⁵(mod 4) บ 3(mod 4)
.
.
.
97⁵ = (24x4 + 1)⁵ บ 1(mod 4)
99⁵ = (24x4 + 3)⁵ บ 3⁵(mod 4) บ 3(mod 4)

เพราะฉะนั้น จริงๆแล้ว 1⁵ + 3⁵ + 5⁵ + . . . + 99⁵ บ (1 + 3 + 1 + 3 + . . . + 1 + 3)(mod 4) บ 0(mod 4) ครับ