[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ถ้า $n$ เป็นจำนวนนับ และ $x_1,...,x_k$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ แล้ว

$\sqrt[n]{x_1}+\sqrt[n]{x_2}+\cdots +\sqrt[n]{x_k}\geq \sqrt[n]{x_1+x_2+\cdots + x_k}$

พิสูจน์ได้ง่ายมาก ลองยกกำลัง $n$ ทั้งสองข้างดูสิครับ แต่ิอาจจะใช้ความรู้เกินม.ต้นนิดหน่อย

ตรงที่ต้องใช้ Multinomial Theorem

หลังจากยกกำลัง $n$ แล้วจะได้

$x_1+x_2+\cdots + x_k + Y\geq x_1+x_2+\cdots +x_k$

เมื่อ $Y$ เป็นก้อนยุ่งๆก้อนหนึ่ง แต่โดยรวมแล้ว $Y\geq 0$





ดังนั้นอสมการจริงครับ

ขอบคุณครับ แบบนี้พอเข้าใจครับ (แม้ยังไม่เข้าใจMultinomial Theorem)

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

รู้จัก Multinomial Theorem มั้ยครับ ถ้ายังไม่รู้จักไม่เป็นไรครับเพราะกำลังจะได้รู้จักแล้ว

Multinomial Theorem $$(X_1+\cdots +X_m)^n=\sum_{k_1,k_2,...,k_m}\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}$$
เมื่อ $k_i\geq 0$ และ $k_1+k_2+\cdots + k_m=n$

ตัวอย่าง $(X+Y+Z)^3=X^3+Y^3+Z^3 +3X^2Y+3X^2Z+3XY^2+3XZ^2+3Y^2Z+3YZ^2+6XYZ$

http://www.mathcenter.net/forum/show...nomial+Theorem



โดยสรุปได้ว่า

$\sqrt[n]{a} $ + $\sqrt[n]{b} $ + $\sqrt[n]{c} $ + $\sqrt[n]{d} + .....\sqrt[n]{z} \geqslant \sqrt[n]{a + b + c + d +.......z} $
สำหรับทุกค่าที่ n เป็นจำนวนนับ และ a b c d ....z เป็นจำนวนจริงบวก