[TOP]

ใช่แล้วครับ 0⁰ จริงๆ กับ 0⁰ ที่เป็น indeterminate form แตกต่างกันอย่างที่คุณ warut ได้อธิบายไว้

อย่างไรก็ตาม แม้ว่า 0⁰ จริงๆจะไม่นิยาม แต่ก็มีนักคณิตศาสตร์และผู้ที่เกี่ยวข้องทั้งหลาย อยากจะเชื่อว่า 0⁰ = 1 เพราะอะไรนะหรือ เรามาดูความเห็นเหล่านี้กันดีกว่า

• เนื่องจาก \( \displaystyle{ \lim_{x \to 0}x^0 = 1\ } \) (ตรงจุดนี้ต้องระวังให้ดีครับ เพราะค่าของฟังก์ชันและลิมิตของฟังก์ชัน ไม่จำเป็นต้องเป็นค่าเดียวกัน นอกจากนี้หากจะกำหนดจากลิมิตอย่างเดียว มันยังมีได้หลายค่า ยกตัวอย่างเช่น \( f(x) = e^{-1/x} \) และ \( g(x) = x \) แล้ว \( \displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = 0 }\) แต่ \( \displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} f(x)^{g(x)} = \frac{1}{e} \neq 1 } \))
• จากหนังสือ Concrete Mathematics (เล่มเดียวกับในหน้าแนะนำหนังสือ) หน้า 162 เขียนไว้ว่า (คำแปล)
  
  " หนังสือหลายเล่มกำหนดไว้ว่า 0⁰ ไม่นิยาม เพราะว่า \( \displaystyle{ \lim_{x \to 0} x^0 \neq \lim_{x \to 0} 0^x } \) ซึ่งเป็นสิ่งที่ไม่ถูกต้อง เราต้องนิยามว่า x⁰ = 1 สำหรับทุกจำนวนจริง x เนื่องจาก จะให้ผลตรงกับทฤษฏีบททวินาม เมื่อ x=0,y=0 หรือ x=-y ( (x+y)⁰ = 1x⁰y⁰ ) ทฤษฏีบททวินามมีความสำคัญมาก ซะจนไม่ควรจะมีข้อจำกัดในเรื่องนี้ ในทางตรงข้ามฟังก์ชัน 0^x ไม่มีความสำคัญเอาซะเลย "
• หากใครต้องการให้ทฤษฎีบททวินาม \( \displaystyle{ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k y^{n-k} } \) เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ จะต้องเชื่อว่า 0⁰ = 1 เพราะเมื่อเราแทนค่า x=0 และ y=1 ลงไป เราจะได้ ทางด้านซ้ายมือเป็น 1 และทางด้านขวามือเป็น 0⁰
• จำนวนการ mapping จากเซ็ตว่างไปยังเซ็ตว่าง คือ 0⁰ และเป็นสาเหตุให้มันควรจะมีค่าเป็น 1

อ้างอิงจาก Frequently Asked Questions in Mathematics