ข้อ 1. ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และให้ $a_1, \dots, a_k \ (k \geq 2)$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ซ้ำกันจากเซต $\{1, \dots, n\}$ โดยที่ $n$ หาร $a_i(a_{i+1}-1)$ ลงตัวสำหรับ $i = 1, \dots, k-1$ จงพิสูจน์ว่า $n$ หาร $a_k(a_1-1)$ ไม่ลงตัว
ข้อ 2. ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมที่มี $O$ เป็นจุดศูนย์กลางวงล้อม จุด $P$ และ $Q$ เป็นจุดภายในที่อยู่บนด้าน $CA$ และ $AB$ ตามลำดับ ให้ $K, L$ และ $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรง $BP, CQ$ และ $PQ$ ตามลำดับ และให้ $\Gamma$ เป็นวงกลมที่ผ่านจุด $K, L$ และ $M$ สมมติให้เส้น $PQ$ สัมผัสกับวงกลม $\Gamma$ จงพิสูจน์ว่า $OP = OQ$
ข้อ 3. สมมติให้ $s_1, s_2, s_3, \dots$ เป็นลำดับเพิ่มโดยแท้ของจำนวนเต็มบวก โดยที่ลำดับย่อย
$$s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3}, \dots \ \text{และ} \ \ s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \dots $$ ทั้งคู่ต่างเป็นลำดับเลขคณิต จงพิสูจน์ว่า $s_1, s_2, s_3, \dots$ เป็นลำดับเลขคณิตเช่นกัน
(ที่มาของโจทย์: ข้อ 1 Ross Atkins ออสเตรเลีย; ข้อ 2 Sergei Berlov รัสเซีย; ข้อ 3 Gabriel Carroll สหรัฐอเมริกา; ข้อ 4 Jan Vonk, Peter Vandendriessche เบลเยียม และ Hojoo Lee เกาหลีใต้; ข้อ 5 Bruno Le Floch ฝรั่งเศส; ข้อ 6 Dmitry Khramtsov รัสเซีย)
ข้อสอบทั้งหมด สามารถดูได้จาก
http://www.imo-official.org/problems.aspx แล้วครับ