อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ HIGG BOZON
...
ปล.1 ตกลงว่าข้อ 2.2 นี่จำเป็นรึเปล่าครับ????
...
ปล.5 ตอนนี้ทั้ง 3 คนเป็น idol ของผมไปแล้วครับ......
|
คุณHIGG BOZON ยกย่องผมเกินไปแล้วหละครับ (ขอบคุณมากนะครับ) 
ถ้าคุณHIGG BOZON สนใจเกี่ยวกับ Arzela-ascoli Theorem สามารถหาอ่านได้ในหนังสือเรื่อง Functional analysis นะครับ ซึ่งที่จริงแล้ว Arzela-ascoli Theorem เป็นทฤษฎีพื้นฐานและสำคัญมากทฤษฎีนึงเลยครับในหัวข้อนี้
ส่วนคำตอบของข้อ 2.2 ก็คือถ้าลำดับของฟังก์ชันจากเซต A คอนเวอจ uniformly แล้วลิมิตของลำดับนั้น ไม่จำเป็นจะต้องเป็นสมาชิกของ A
ซึ่งตัวอย่างค้านก็คือตัวอย่างที่ผมได้ให้ไว้แล้วครั้งหนึ่งในข้างต้น
$f_n(x) = \cases{0 &,x\in [-\frac {1}{n},\frac {1}{n}] \cr \frac {n}{2}(x-\frac {1}{n})^2 & , x\in [\frac {1}{n},\frac {2}{n}] \cr \frac {n}{2}(x+\frac {1}{n})^2 & , x\in [-\frac {2}{n},-\frac {1}{n}] \cr x-\frac {3}{2n} &, x\in [\frac {2}{n},1] \cr -x-\frac {3}{2n} &, x\in [-1,-\frac {2}{n}]}$
สามารถแสดงได้โดยง่ายว่า $f_n \in A$ (ทุก n) และ $f_n$ converge uniformly to $abs(x)$ แต่ $abs(x) \not\in A$
ผมขอเพิ่มเติมถึงการพิสูจน์ในข้อ 2.1นะครับว่า เราสามารถพิสูจน์โดยไม่ใช้ Arzela-ascoli Theorem ได้ แต่แน่นอนว่าวิธีการอาจจะไม่กระทัดรัดเท่าไหร่นัก ข้างล่างได้แสดงขั้นตอนโดยคร่าวๆ
ขั้นตอนที่ 1 สามารถใช้เงื่อนไข$\left|\,f(x)\right|+\left|\,f'(x) \right|\leqslant 10$ในการพิสูจน์ข้อเท็จจริงข้างล่างได้
สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก m และทุกลำดับของเซต A (สมมติว่าเป็น $f_1,f_2,...,f_n,...$)จะสามารถหาลับดับย่อย $f_{n_1},f_{n_2},...,f_{n_k},...$ ที่ทำให้ $\left|f_{n_i}(x)-f_{n_j}(x)\right|\leqslant \frac{1}{2^m}$ สำหรับทุก $i,j$ และทุก$x\in[-1,1]$ ได้
ขั้นตอนที่ 2 สมมติว่าเรามีลำดับในเซต A คือ $f_1,f_2,...,f_n,...$
ใช้ข้อสรุปในขั้นตอนที่ 1 จะได้ว่า มีลำดับย่อย(ของ $f_1,f_2,...,f_n,...$) $f_{1,1},f_{1,2},...,f_{1,k},...$ ที่ทำให้ $\left|f_{1,i}(x)-f_{1,j}(x)\right|\leqslant \frac{1}{2}$ สำหรับทุก $i,j$ และทุก$x\in[-1,1]$
ใช้ข้อสรุปในขั้นตอนที่ 1 กับลำดับ $f_{1,1},f_{1,2},...,f_{1,k},...$ จะได้ว่า มีลำดับย่อย(ของ $f_{1,1},f_{1,2},...,f_{1,k},...$ ) $f_{2,1},f_{2,2},...,f_{2,k},...$ ที่ทำให้ $\left|f_{2,i}(x)-f_{2,j}(x)\right|\leqslant \frac{1}{2^2}$ สำหรับทุก $i,j$ และทุก$x\in[-1,1]$
ใช้ข้อสรุปในขั้นตอนที่ 1 กับลำดับ $f_{2,1},f_{2,2},...,f_{2,k},...$ จะได้ว่า มีลำดับย่อย(ของ $f_{2,1},f_{2,2},...,f_{2,k},...$ ) $f_{3,1},f_{3,2},...,f_{3,k},...$ ที่ทำให้ $\left|f_{3,i}(x)-f_{3,j}(x)\right|\leqslant \frac{1}{2^3}$ สำหรับทุก $i,j$ และทุก$x\in[-1,1]$
................................
ใช้ข้อสรุปในขั้นตอนที่ 1 กับลำดับ $f_{t,1},f_{t,2},...,f_{t,k},...$ จะได้ว่า มีลำดับย่อย(ของ $f_{t,1},f_{t,2},...,f_{t,k},...$ ) $f_{t+1,1},f_{t+1,2},...,f_{t+1,k},...$ ที่ทำให้ $\left|f_{t+1,i}(x)-f_{t+1,j}(x)\right|\leqslant \frac{1}{2^{t+1}}$ สำหรับทุก $i,j$ และทุก$x\in[-1,1]$
.................................
ขั้นตอนที่ 3 เราสามารถเลือกลำดับย่อยของ $f_1,f_2,...,f_n,...$ เป็น $f_{1,1},f_{2,2},...,f_{t,t},...$ (ในที่นี้ $f_{1,1},f_{2,2},...,f_{t,t},...$ เป็นฟังก์ชันที่ถูกกล่าวถึงในขั้นตอนที่ 2)
ซึ่งเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า$f_{1,1},f_{2,2},...,f_{t,t},...$ converge uniformly (สังเกตในขั้นตอนที่ 2)
|