วิธีข้อ 2
ของผม นะครับ
ผมลองพิจารณาย้อนกลับดู
เห็นได้ว่าถ้าเราพิสูจน์ได้ว่า OM ตั้งฉากกับ PQ ก็จะได้ว่า OP=OQ เป็นจริง เพราะว่า เราจะได้ว่า M,O แล้วก็ J (ให้ J เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมที่ผ่าน K,M,L) collinear แล้วก็สามารถใช้สามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการแบบด้านมุมด้านกับสามเหลี่ยม OMQ กับสามเหลี่ยม PMO ได้แล้วก็จะได้ว่า OP=OQ
ทีนี้มาดูกันว่าจะพิสูจน์ว่า OM ตั้งฉากกับ PQ ได้อย่างไร ? เราลองลากต่อ PQ ออกมาตัดกับวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC โดยผมให้ S R เป็นจุดตัด 2 จุดที่เกิดขึ้น เรียงบนเส้นตรงตามลำดับ S Q P R ตามนี้
เห็นได้ว่าถ้าเราลาก OS,OR เป็นรัศมีวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC ดังนั้น OS=OR แล้วลากเส้นตรง OM เป็นด้านร่วมเห็นได้ว่าถ้าเราพิสูจน์ได้ว่า SM=MR จริง ก็จะได้ว่าสามเหลี่ยม OSM เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม OMR ก็จะได้ว่า OM perp QP เป็นจริง ซึ่ง SM=MR ก็ต่อเมื่อ SQ=PR
ดังนั้นเราต้องพิสูจน์ว่า SQ=PR เป็นจริง
ใช้ power of point
AQ•QB=SQ•QR=SQ•PQ+SQ•PR
AP•PC=PR•SP=PR•PQ+PR•SQ
เห็นได้ว่า SQ=PR ก็ต่อเมื่อ AQ•QB=AP•PC
ทีนี้จากสามเหลี่ยมคล้าย (ดูได้ง่ายๆ) เราจะได้ว่า QB=2MK,PC=2ML
ดังนั้นจึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า AQ•MK=AP•ML
หรือ $\frac{AQ}{AP}=\frac{ML}{MK}$
ซึ่งจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อสามเหลี่ยม APQ คล้ายกับสามเหลี่ยม KML ซึ่งเป็นจริงจาก MK//AB และ AC//ML
นั่งทำมานานพอสมควร ส่วนตัวคิดว่ามันก็ง่ายนะครับถ้าเทียบกับ IMO ข้อ 2 ของปีอื่นๆ
แต่ถามว่ามันง่ายไหม? มันก็ไม่ได้ง่ายขนาดนั้นนะครับ?? ทำไมทุกคนทำเหมือนมันจะง่าย มหาง่ายกันขนาดนั้น?
(หรือว่าผมโง่เองก็ไม่รู้ ถ้าเป็นเพราะเหตุผลนี้ก็ขอโทษด้วยครับ
)