กำหนดให้ $S_n = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$
และ $A_n = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}$
จะได้ว่า $A_n = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2n}-2\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2n}\right) = S_{2n}-S_n$
ต่อไปใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า $lim_{n\to\infty}S_n-ln(n)=\gamma $ โดยที่ $\gamma $เป็น
Euler constant
ดังนั้น $lim_{n\to\infty}[S_{2n}-ln(2n)-S_n+ln(n)]=lim_{n\to\infty}[S_{2n}-ln(2n)]-lim_{n\to\infty}[S_{n}-ln(n)]=\gamma-\gamma=0$
นั่นคือ $lim_{n\to\infty}[A_n-ln(2n)+ln(n)]=0$
และเนื่องจาก $lim_{n\to\infty}[ln(n)-ln(2n)]=-ln2$
ดังนั้น $lim_{n\to\infty}A_n=ln2$
นั่นคือ $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...=ln2$ #