[แมวสามสี]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beta

2 กำหนดเส้นตรง y=ax+b ผ่านจุด (1,2) จงหาค่าของ aและb ที่ทำให้อินทิกรัลจำกัดเขต $ \int_{-1}^{1}(ax+b)^2\,dx $ มีค่าต่ำสุด

เส้นตรง$ y=ax+b $ผ่านจุด (1,2) ได้ $a+b = 2$

$\int_{-1}^{1}(ax+b)^2\,dx = \frac{1}{3a}(ax+b)^3\left.\,\right| ^1_{-1}$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad= \frac{(a+b)^3}{3a}\quad-\quad \frac{(-a+b)^3}{3a}\quad;$ แทนค่า$a+b = 2$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad= \frac{(2)^3}{3a}\quad-\quad \frac{(2-2a)^3}{3a}$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=\frac{1}{3}(4a^2-12a+12)$

จะได้ $f(a) = \frac{1}{3}(4a^2-12a+12)$

$f'(a) = \frac{1}{3}(8a-12)$

$8a-12\quad=\quad0$

ได้ $ a = \frac{3}{2},b =\frac{1}{2} $

จาก $f''(a) = \frac{8}{3}$ ซึ่งมากกว่าศูนย์

ดังนั้น$ a = \frac{3}{2}$ และ $b =\frac{1}{2} $ทำให้ $ \int_{-1}^{1}(ax+b)^2\,dx $ มีค่าต่ำสุด