วิธีผมนะครับ ไม่รู้ไปซ้ำกับใครหรือเปล่า เขียนอสมการได้ใหม่เป็น $\Sigma a\sqrt{\frac{b}{1-b}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{2}}$ เลือกฟังก์ชั่น $y=f(x)=\sqrt{\frac{x}{1-x}}$ บนช่วง Concave $D_f=(o,\frac{1}{3}]$ โดยอสมการ Jensen ถ่วงน้ำหนัก $$L.H.S.\leqslant\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{1-(ab+bc+ca)}}$$ เเละใช้เอกลักษณ์ $ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{2}$
เป็นกาีรเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $$\sqrt{\frac{1-(a^2+b^2+c^2)}{1+a^2+b^2+c^2}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{2}}$$ ยกกำลังสองทั้งสองข้าง $$3(a^2+b^2+c^2)\geqslant 1$$ Homogenize เป็น $3(a^2+b^2+c^2)\geqslant (a+b+c)^2$ ซึ่งสมมูลกับ $\frac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)\geqslant 0$
ผิดถูกยังไงก็บอกนะครับ จริงๆเเล้วผมทำตาม Hint ของคุณ Rose-Joker ไม่ออก เเต่อยากเห็นวิธีทำมากครับผม ขอความกรุณาด้วยครับ
