[Onasdi]

ผมก็เป็นครับ เคยทำได้แล้วก็ลืม เป็นอะไรที่เซ็งมาก ไม่รู้ว่าจะนั่งนึกหรือจะคิดใหม่ดี
ข้อ 13 ครับ ผมลองคิดประมาณนี้ แอบถึกนิดหน่อย
$\displaystyle{4\cos (2n-1)\sin (2n)\cos (2n+1)=2\sin 2n (\cos 4n+\cos 2)}$
$=2\sin 2n \cos 4n +2\sin 2n\cos 2=\sin 6n -\sin 2n + \sin (2n+2) + \sin (2n-2)$

ดังนั้น $\displaystyle{4\Big[\cos3^{\circ}\sin4^{\circ}\cos5^{\circ}+\cos5^{\circ}\sin6^{\circ}\cos7^{\circ}+...+\cos175^{\circ}\sin176^{\circ}\cos177^{\circ }\Big]}$
$\displaystyle{=\sum_{n = 2}^{88}4\cos (2n-1)\sin (2n)\cos (2n+1)}$
$\displaystyle{=\sum_{n = 2}^{88}\Big[\sin 6n -\sin 2n + \sin (2n+2) + \sin (2n-2)\Big]}$

ใช้สูตร $\displaystyle{\sum_{n = a}^{b}\sin(2kn)=\frac{\sin(a+b)k\cdot\sin(b-a+1)k}{\sin k}}$
[พิสูจน์โดยคูณ 2sin k เข้าไป แล้วจะได้ telecoping series]

$\displaystyle{=\frac{\sin (90\cdot 3)\cdot\sin(87\cdot 3)}{\sin 3}-\frac{\sin 90\cdot\sin 87}{\sin 1}+\frac{\sin 92\cdot\sin 87}{\sin 1}+\frac{\sin 88\cdot\sin 87}{\sin 1}}$
$\displaystyle{=\frac{\cos 9}{\sin 3}+\frac{-\cos 3+2\cos 2\cdot \cos 3}{\sin 1}}$

จัดรูปจนมึนแล้วครับ ทำต่อให้หน่อยนะครับ

อาจจะมีวิธี telecoping ตรงๆ แต่คิดไม่ออกครับ