อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi
ผมก็เป็นครับ เคยทำได้แล้วก็ลืม เป็นอะไรที่เซ็งมาก ไม่รู้ว่าจะนั่งนึกหรือจะคิดใหม่ดี
ข้อ 13 ครับ ผมลองคิดประมาณนี้ แอบถึกนิดหน่อย
$\displaystyle{4\cos (2n-1)\sin (2n)\cos (2n+1)=2\sin 2n (\cos 4n+\cos 2)}$
$=2\sin 2n \cos 4n +2\sin 2n\cos 2=\sin 6n -\sin 2n + \sin (2n+2) + \sin (2n-2)$
ดังนั้น $\displaystyle{4\Big[\cos3^{\circ}\sin4^{\circ}\cos5^{\circ}+\cos5^{\circ}\sin6^{\circ}\cos7^{\circ}+...+\cos175^{\circ}\sin176^{\circ}\cos177^{\circ }\Big]}$
$\displaystyle{=\sum_{n = 2}^{88}4\cos (2n-1)\sin (2n)\cos (2n+1)}$
$\displaystyle{=\sum_{n = 2}^{88}\Big[\sin 6n -\sin 2n + \sin (2n+2) + \sin (2n-2)\Big]}$
ใช้สูตร $\displaystyle{\sum_{n = a}^{b}\sin(2kn)=\frac{\sin(a+b)k\cdot\sin(b-a+1)k}{\sin k}}$
[พิสูจน์โดยคูณ 2sin k เข้าไป แล้วจะได้ telecoping series]
$\displaystyle{=\frac{\sin (90\cdot 3)\cdot\sin(87\cdot 3)}{\sin 3}-\frac{\sin 90\cdot\sin 87}{\sin 1}+\frac{\sin 92\cdot\sin 87}{\sin 1}+\frac{\sin 88\cdot\sin 87}{\sin 1}}$
$\displaystyle{=\frac{\cos 9}{\sin 3}+\frac{-\cos 3+2\cos 2\cdot \cos 3}{\sin 1}}$
จัดรูปจนมึนแล้วครับ ทำต่อให้หน่อยนะครับ
อาจจะมีวิธี telecoping ตรงๆ แต่คิดไม่ออกครับ
|
คิดต่อจากตรงนี้นะครับ ทำได้ละ
$\displaystyle{=\frac{\frac{\cos 9^{\circ}}{\sin 3^{\circ}}+\frac{-\cos 3^{\circ}+2\cos 2^{\circ}\cdot \cos 3^{\circ}}{\sin 1^{\circ}}}{4cos1^{\circ}cos5^{\circ}}}$
จัดรูปครับ
$\displaystyle{=\frac{\sin1^{\circ}\cos9^{\circ}-\sin3^{\circ}\cos3^{\circ}+\sin6^{\circ}\cos2^{\circ}}{4\cos1^{\circ}\sin1^{\circ}\cos5^{\circ}\sin3^{\circ}}}$
คูณ ด้วย $\frac{2}{2}$ จะได้
$\displaystyle{=\frac{\sin10^{\circ}-\sin8^{\circ}-\sin6^{\circ}+\sin8^{\circ}+\sin4^{\circ}}{4\sin3^{\circ}\sin2^{\circ}\cos5^{\circ}}}$
$\displaystyle{=\frac{\sin10^{\circ}+\sin4^{\circ}-\sin6^{\circ}}{4\sin2^{\circ}\cos5^{\circ}\sin3^{\circ}}}$
$\displaystyle{=\frac{2\sin5^{\circ}\cos5^{\circ}-2\cos5^{\circ}\sin1^{\circ}}{4\sin2^{\circ}\cos5^{\circ}\sin3^{\circ}}}$
$\displaystyle{=\frac{\sin5^{\circ}-\sin1^{\circ}}{2\sin2^{\circ}\sin3^{\circ}}}$
$\displaystyle{=\frac{2\cos3^{\circ}\sin2^{\circ}}{2\sin2^{\circ}\sin3^{\circ}}}$
$\displaystyle{=\cot3^{\circ}}$
ได้แล้วววววว
ปล. อย่าลืม ข้อ 17 ผมนะครับ ^^