แล้วก็ขอขยายแนวความคิดมาข้อ 3 นะครับ
ลำดับนี้ สร้างจาก 1 จำนวน \( \displaystyle{a_1\ \ }\)ตัว
ลำดับนี้ สร้างจาก 2 จำนวน \( \displaystyle{a_2\ \ }\)ตัว
ลำดับนี้ สร้างจาก 3 จำนวน \( \displaystyle{a_3\ \ }\)ตัว
\(\vdots \)
ลำดับนี้ สร้างจาก m จำนวน \( \displaystyle{a_m\ \ }\)ตัว
ท วาง m จำนวน \( \displaystyle{a_m\ \ }\)ตัวก่อน แล้ววาง m-1 ไปแปะหน้า
m-1 \( \fbox{__}\) m \( \fbox{__}\) m \( \fbox{__}\) m \( \fbox{__}\) ...m \( \fbox{__}\)
จะมีช่องว่างสำหรับวาง m-1 จำนวน \( \displaystyle{a_m+1\ \ }\)ช่อง
m-1 จำนวน \( \displaystyle{a_{m-1}\ \ }\)ตัว ใช้ไปแล้ว 1 เหลือ \( \displaystyle{a_{m-1}-1\ \ }\)
\( \displaystyle{{(a_{m-1}-1)+(a_m+1)-1 \choose a_{m-1}-1}={a_m+a_{m-1}-1 \choose a_{m-1}-1}} \)
ท วาง m กับ m-1 ไปแล้ว \( \displaystyle{a_m+a_{m-1} \ \ }\)ตัว
m-2 \( \fbox{__}\) _ \( \fbox{__}\) _ \( \fbox{__}\) _ \( \fbox{__}\) ..._ \( \fbox{__}\)
จะมีช่องว่างสำหรับวาง m-2 จำนวน \( \displaystyle{a_m+a_{m-1}+1 \ \ }\)ช่อง (ใช้ไป 1 เหลือ\( \displaystyle{a_{m-2}-1\ \ } \)ตัว)
\( \displaystyle{{(a_{m-2}-1)+(a_m+a_{m-1}+1)-1 \choose a_{m-2}-1}={a_m+a_{m-1}+a_{m-2}-1 \choose a_{m-2}-1}} \)
\( \displaystyle{\Large \vdots}\)
ท วาง m กับ m-1 ... 2 แล้ว จำนวน \( \displaystyle{a_m+a_{m-1}+...+a_2 \ \ }\)ตัว
1 \( \fbox{__}\) _ \( \fbox{__}\) _ \( \fbox{__}\) _ \( \fbox{__}\) ..._ \( \fbox{__}\)
จะมีช่องว่างสำหรับวาง 1 จำนวน \( \displaystyle{a_m+a_{m-1}+...+a_2+1 \ \ }\)ช่อง (ใช้ไป 1 เหลือ\( \displaystyle{a_1-1\ \ } \)ตัว)
\( \displaystyle{{(a_1-1)+(a_m+a_{m-1}+...+a_2+1)-1 \choose a_1-1}}\)
\(\displaystyle{= {a_m+a_{m-1}+...+a_1-1 \choose a_1-1}} \)
วิธีทั้งหมดคือ \(\displaystyle{{a_m+a_{m-1}-1 \choose a_{m-1}-1}{a_m+a_{m-1}+a_{m-2}-1 \choose a_{m-2}-1}\cdots {a_m+a_{m-1}+...+a_1-1 \choose a_1-1} } \)
กระจายออกมาตัดทอนเหลือ
\( \displaystyle{\frac{(a_m+a_{m-1}+...+a_1-1)!}{(a_m)!(a_m-1)!(a_{m-1}-1)!\cdots (a_1-1)!(a_m+a_{m-1})(a_m+a_{m-1}+a_{m-2})\cdots (a_m+...+a_2)}} \)
\(\displaystyle{=\frac{(M-1)!}{(a_m)! \prod_{i=1}^m (a_i-1)\prod_{k=1}^{m-2} \sum_{j=m-k}^m a_j} } \)
ใครก็ได้ช่วยทำให้มันดูง่ายกว่านี้ทีครับ
