ที่มาของ \(\displaystyle{{r + n - 1} \choose r}\) มันมาจากการคิดว่าเอาที่กั้นไปเสียบ แบ่งของให้แต่ละกล่องอะคับ
โจทย์ตั้งต้นคือ ถ้ามี n กล่อง และทุกกล่องต้อง ใส่ของอย่างน้อย 1 ชิ้น เราก็คิดเหมือนกับว่า เอาของ r ชิ้นมาเรียงกัน มีที่ให้เอาไม้กั้นไปเสียบอยู่ r - 1 ที่ แล้วก็ มีไม้ทั้งหมด n - 1 แท่ง
คำตอบจะเท่ากับ \(\displaystyle{{{r - 1} \choose {n - 1}}}\)
คราวนี้ ถ้าแต่ละกล่องสามารถใส่ 0 ชิ้นได้ เราก็สมมติซะว่า แต่ละกล่องใส่ได้อย่างน้อย 1 ชิ้นเหมือนเดิม แต่เพิ่มจำนวนของไปอีก n ชิ้น
คำตอบจะเท่ากับ \(\displaystyle{{{r + n - 1} \choose {n - 1}}}\)
และจากคุณสมบัติของการเลือก จะรู้ว่า \(\displaystyle{{{r + n - 1} \choose {n - 1}} = {{r + n - 1} \choose r}}\)
|