ประถม
คusักคณิm
จงหาค่าของ $$\frac{1}{3}+\frac{1}{3+6}+\frac{1}{3+6+9}+\frac{1}{3+6+9+12} +\cdots +\frac{1}{3+6+9+12+15+...300}$$
----------------------------------
Heir of Ramanujan
ในสลากชุดหนึ่ง สลากแต่ละใบมีหมายเลขกำกับไว้ โดยเป็นหมายเลขที่มีเลขโดด 9 หลัก และใช้เลขโดดเฉพาะ 1 หรือ 2 หรือ 3 เท่านั้น
สลากแต่ละใบจะมีสีกำกับเป็นสีแดง หรือน้ำเงิน หรือเขียว
สลาก 2 ใบมีหมายเลขกำกับที่แตกต่างกันทุกหลักทั้ง 9 หลัก จะมีสีต่างกัน (เช่น 121212121 และ 232323232 มีสีต่างกัน)
ถ้าสลากหมายเลข 122222222 มีสีแดง และสลากหมายเลข 222222222 มีสีเขียว
แล้วสลากหมายเลข 123123123 มีสีอะไร
----------------------------------
Heir of Ramanujan
นายอนันต์เดินทางกลับจากที่ทำงานโดยรถไฟฟ้าเวลาเดิมทุกวันเป็นปกติ
รถไฟฟ้าขบวนนี้จะจอดที่สถานีตากสิน (ซึ่งเป็นสถานีปลายทางที่ใกล้กับบ้านของนายอนันต์) ในเวลา $17:00$ น.
ในเวลาเดียวกันนี้ คนขับรถของนายอนันต์จะขับรถมาถึงสถานีตากสินพอดี เพื่อมารับนายอนันต์ขึ้นรถและขับกลับบ้าน
ในวันที่อากาศดีวันหนึ่ง นายอนันต์เลิกงานเร็วกว่าปกติ เขาขึ้นรถไฟฟ้าและมาถึงสถานีตากสินเวลา $16:00$ น.
แทนที่จะโทรหาหรือรอคนขับรถจนถึงเวลา $17:00$ น. เขาเริ่มออกเดินกลับบ้าน (โดยใช้เส้นทางเดียวกับคนขับรถ)
ระหว่างทาง เขาเดินไปเจอกับคนขับรถ ซึ่งจอดรถรับเขาในทันทีและขับกลับบ้าน เขากลับถึงบ้านเร็วกว่าเวลาปกติ $20$ นาที
อีกไม่กี่สัปดาห์ต่อมา ในวันที่อากาศดีอีกวันหนึ่ง นายอนันต์เลิกงานเร็วกว่าปกติ เขาขึ้นรถไฟฟ้าและมาถึงสถานีตากสินเวลา $16:30$ น.
เป็นอีกครั้งที่เขาไม่รอคนขับรถ เขาเริ่มออกเดินกลับบ้าน ระหว่างทาง เขาเดินไปเจอกับคนขับรถ ซึ่งจอดรถรับเขาในทันทีและขับกลับบ้าน
ในครั้งนี้เขาจะกลับถึงบ้านเร็วกว่าเวลาปกติเป็นเวลากี่นาที
สมมติให้นายอนันต์เดินด้วยอัตราเร็วคงที่ และคนขับรถใช้อัตราเร็วคงที่ในการขับรถ
====================
ม.ต้น
nooonuii
1. กำหนดให้ $a,b,c>1$ และ
$~~~~~a^x=bc$
$~~~~~b^y=ca$
$~~~~~c^z=ab$
จงหาค่าของ $x+y+z-xyz$
----------------------------------
nooonuii
2. โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียน $2552$ คน นักเรียนแต่ละคนจะมีรหัสประจำตัวซึ่งเป็นเลข $5$ หลัก และมีค่าตั้งแต่ $20009$ ถึง $22560$
ทางโรงเรียนต้องการแบ่งนักเรียนออกเป็นกลุ่มเพื่อจัดนิทรรศการ โดยนักเรียนที่มีผลรวมของเลขโดดในรหัสประจำตัวเท่ากันจะอยู่กลุ่มเดียวกัน
เช่น นักเรียนที่มีรหัส $20009$ จะอยู่กลุ่มเดียวกับ นักเรียนที่มีรหัส $21116$ เป็นต้น
นักเรียนหนึ่งกลุ่มจะต้องใช้ห้องเรียนหนึ่งห้องในการจัดนิทรรศการ และนักเรียนทุกคนต้องเข้าร่วม
กิจกรรมในครั้งนี้ จงหาว่าโรงเรียนจะต้องใช้ห้องทั้งหมดกี่ห้อง เพื่อให้นักเรียนแต่ละกลุ่มนำไปใช้จัดนิทรรศการ
----------------------------------
nooonuii
3. ให้ $x,y$ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องสมการ
$$(x+y)^2+(x+3)^2+y^2=3$$
จงหาค่าของ $(x+y)^2+(y+3)^2+x^2$
----------------------------------
lightlucifer
ให้ $a_1,a_2,...,a_{99}$ เป็นรากของสมการ $x^{99}-2x^{98}+3x^{97}+...+99x-100=0$
จงหา $(1-a_1)(1-a_2)(1-a_3)...(1-a_{99})$
----------------------------------
Heir of Ramanujan
กำหนดให้ $P(n)$ และ $S(n)$ แทนผลคูณและผลบวกของเลขโดดทุกหลักของจำนวนนับ $n$ ตามลำดับ
เช่น $P(23) = 6$ และ $S(23) = 5$
ถ้า $N$ เป็นจำนวนนับที่เป็นเลข 2 หลัก โดยที่ $N = P(N) + S(N)$ แล้วเลขหลักหน่วยของ $N$ เท่ากับเท่าใด
----------------------------------
Heir of Ramanujan
สี่เหลี่ยมผืนผ้า $ABCD$ มี $BC = 3AB$
ถ้า $P$ และ $Q$ เป็นจุดบนด้าน $BC$ ที่ทำให้ $BP = PQ = QC$
แล้วพิสูจน์ว่า $\angle DBC + \angle DPC = \angle DQC$
----------------------------------
Scylla_Shadow
ให้ $$S=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2551}+\frac{1}{2552}$$
จงหาค่าของ $$\frac{1}{2\times 3}+\frac{2}{3\times 4}+\frac{3}{4\times 5}+\cdots+\frac{2550}{2551\times 2552}$$
ในรูปของ $S$
----------------------------------
Scylla_Shadow
กำหนดให้ $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มบวก แล้วคำตอบของสมการ $a+b+c=2009$ มีทั้งสิ้นกี่คำตอบ
----------------------------------
Scylla_Shadow
จงคำนวณค่าของ $2009a-2552b$ เมื่อ a,b เป็นคำตอบของสมการ $$(a-b)^2+(a-\frac{5}{3})^2+(b+\frac{4}{3})^2=3\frac{1}{9}$$
----------------------------------
Scylla_Shadow
ถ้า $$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=2553$$
แล้วค่าของ $\dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$ เป็นเท่าใด
----------------------------------
Scylla_Shadow
รูปสามเหลี่ยม ABC มีอัตราส่วน มุมB:มุมA:มุมC เป็น 2:3:4
จุด D เป็นจุดบน AC ที่ทำให้สามเหลี่ยม BDC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
ถ้า AB ยาว $12\sqrt[4]{3}$ หน่วยแล้ว
สองเท่าของพื้นที่รูปสามเหลี่ยม ADB บวกกับพื้นที่รูปสามเหลี่ยม BCD เป็นเท่าใด
----------------------------------
Scylla_Shadow
จงคำนวณค่าของ $\frac{x}{2008}$ จากสมการ
$$(x-(x-(x-...(x-(x-(x-2008^2)^2)^2)^2)...)^2)^2=2008^2$$
เมื่อในนิพจน์ทางซ้ายมือมีการยกกำลังสองทั้งสิ้น 2008 ครั้ง
----------------------------------
Scylla_Shadow
กำหนดให้ $N$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีสมบัติดังต่อไปนี้
1. เลขโดดในทุกหลักของ $N$ เป็นเลขเดียวกัน
2. $N$ ถูกหารลงตัวด้วย $333...$ ( มี 3 เรียงกัน 128 ตัว )
3. $N$ ถูกหารลงตัวด้วย $3^3$
จงหาว่าจำนวนเต็มบวก $N$ ที่น้อยที่สุดมีกี่หลัก
----------------------------------
Scylla_Shadow
กำหนดให้ $w,x,y$ และ $z$ เป็นจำนวนเต็มบวกหนึ่งหลักที่แตกต่างกัน ซึ่ง $$72(wxy+wxz+wyz+xyz)=77wxyz$$
จงหาค่าของ $wxyz$
====================
ม.ปลาย
nooonuii
1. ให้ $x$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งเป็นคำตอบของสมการ $x+\dfrac{1}{x}=2\sin{\frac{\pi}{32}}$ จงหาค่าของ $x^4+\dfrac{1}{x^4}$ (ตอบในรูปที่ไม่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติ)
----------------------------------
nooonuii
2. จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดซึ่งทำให้ $p,p+10,p+20$ เป็นจำนวนเฉพาะทั้งสามจำนวน
----------------------------------
nooonuii
3. ในการแข่งขันฟุตบอลรายการหนึ่งมีทีมเข้าร่วมการแข่งขันทั้งหมด $4$ ทีม
การแข่งขันเป็นแบบพบกันหมดคู่ละ $1$ ครั้งเท่านั้น และมีเกณฑ์การให้คะแนนดังนี้
ทีมชนะได้ $3$ คะแนน
ถ้าเสมอกันได้ทีมละ $1$ คะแนน
ทีมแพ้ไม่ได้คะแนน
ถ้าจบการแข่งขันแล้วปรากฎว่าทีมที่ได้อันดับที่ $4$ มีคะแนนรวม $4$ คะแนน
จงหาคะแนนรวมที่เป็นไปได้ทั้งหมดของทีมที่ได้อันดับที่ $1$
----------------------------------
Ne[s]zA
กำหนด $\sqrt[3]{(x-319)(x-8)+6}+\sqrt{7}=\sqrt{969x+1-(x+638)(x+4)}$ โดย $x\in \mathbb{R}$
ถ้า $x^2-327x+2552=a$ โดย $a \in \mathbb{R}$ แล้วจงหาค่าของ $\sqrt{\frac{2a+4\sqrt{a+13}+23}{2}}$
----------------------------------
Heir of Ramanujan
ให้ $s$ เป็นส่วนโค้งใดๆ ของวงกลมหนึ่งหน่วย (unit circle) ซึ่ง $s$ อยู่ในจตุภาค (quadrant) ที่ $1$ ตลอดความยาว
ให้ $A$ เป็นพื้นที่ของอาณาบริเวณที่อยู่ใต้ $s$ และเหนือแกน $X$
และให้ $B$ เป็นพื้นที่ของอาณาบริเวณที่อยู่ทางขวาของแกน $Y$ และทางซ้ายของ $s$
พิสูจน์ว่า ค่าของ $A+B$ ขึ้นอยู่กับความยาวส่วนโค้ง $s$ เท่านั้น และไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของ $s$
----------------------------------
Heir of Ramanujan
หาค่า $A$ ที่น้อยที่สุดซึ่งทำให้สำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปใดๆ ที่มีพื้นที่รวมกันเท่ากับ $1$ จะมีสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่ $A$ โดยที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส $2$ รูปนั้นสามารถบรรจุอยู่ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ (โดยไม่มีพื้นที่ซ้อนทับกัน)
สมมติให้ด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนานกับด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า
----------------------------------
Heir of Ramanujan
กำหนดให้ $f:\mathbb{R}-\left\{0,1\right\}\rightarrow\mathbb{R}$ โดยที่
$f(x) + f(1-\frac{1}{x}) = 1+x$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{R}-\left\{0,1\right\}$
จงหาค่าของ (รูปทั่วไปของ) $f(x)$
----------------------------------
Heir of Ramanujan
กำหนดให้ $f(x) = x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$
หาค่าของเศษเหลือจากการหาร $f(x^{5})$ ด้วย $f(x)$
----------------------------------
Scylla_Shadow
ให้ $a=x^2-2x+27$ จงหาคำตอบของสมการ $$1800 = (\sqrt{a-10}+\sqrt{a-1}+\sqrt{a+10})(\sqrt{a+10}\sqrt{a-1}\sqrt{a+10})$$
====================
โอลิมปิก
nooonuii
1. สำหรับจำนวนนับ $n$ ใดๆ นิยาม $n!!=(n!)!$ เช่น $3!!=(3!)!=6!=720$
ให้ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n)!!}{a_1!!a_2!!\cdots a_n!!}$$
เป็นจำนวนเต็ม
----------------------------------
nooonuii
2. จงหาจำนวนนับทั้งหมดที่สามารถเขียนได้ในรูป $\dfrac{4ab}{ab^2+1}$ สำหรับบางจำนวนนับ $a,b$
----------------------------------
nooonuii
3. ให้ $a,b,c,d>0$ โดยที่ $abcd=1$ จงพิสูจน์ว่า
$$(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)\leq (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+d^2)(d^2+a^2)$$
----------------------------------
nooonuii
4. ให้ $x,y,z>0$ จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{x^2+2}{\sqrt{z^2+xy}}+\dfrac{y^2+2}{\sqrt{x^2+yz}}+\dfrac{z^2+2}{\sqrt{y^2+zx}}\geq 6$$
สมการเป็นจริงเมื่อใด
----------------------------------
nooonuii
5. ให้ $a_1,...,a_n$ และ $b_1,...,b_n$ เป็นวิธีเรียงสับเปลี่ยนของ $\dfrac{1}{(1!)^2},\dfrac{1}{(2!)^2},...,\dfrac{1}{(n!)^2}$ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $a_1b_1+\cdots +a_nb_n$
----------------------------------
tatari_nightmare
6. Find all real numbers $x,y$ such that all of the numbers
$$x^2-y^2,x^3-y^3,x^5-y^5$$
are rational
----------------------------------
Heir of Ramanujan
หาค่าของจำนวนจริง $x,y,z$ ที่สอดคล้องกับระบบสมการ
$$\begin{eqnarray}8(x+\frac{1}{x}) &=& 15(y+\frac{1}{y}) = 17(z+\frac{1}{z})\\
$xy + yz + zx &=& 1\\
\end{eqnarray}$$
----------------------------------
Heir of Ramanujan
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง โดยที่ $a \not= 0$ และ $a \not= b$
และรากทั้งหมดของสมการ $ax^{3}-x^{2}+bx-1 = 0$ เป็นจำนวนจริงและเป็นบวก
หาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $P = \frac{5a^{2}-3ab+2}{a^{2}(b-a)}$
====================
หมายเหตุ: ผลคะแนนรอบ 2/2009 อาจล่าช้ากว่ากำหนดเล็กน้อยนะครับ ขออภัยในความไม่สะดวกมา ณ ที่นี้