ที่ผมทำไว้ อาจถูกหรือผิดก็ได้
ท่านอื่นทำวิธีต่างไปจากนี้ไหมครับ
มัธยมต้น
อ้างอิง:
7. (5 คะแนน) กำหนดให้ $N$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีสมบัติดังต่อไปนี้
1. เลขโดดในทุกหลักของ $N$ เป็นเลขเดียวกัน
2. $N$ ถูกหารลงตัวด้วย $333...$ ( มี 3 เรียงกัน 128 ตัว )
3. $N$ ถูกหารลงตัวด้วย $3^3$
จงหาว่าจำนวนเต็มบวก $N$ ที่น้อยที่สุดมีกี่หลัก
(เสนอโดยคุณ Scylla_Shadow)
|
ให้ m = 1111111......1 มี 1 เรียงกัน 128 ตัว
จากข้อสังเกต
3m หารลงตัวด้วย 333...3 ( มี 3 เรียงกัน 128 ตัว )
ดังนั้น N ต้องมี $ \geqslant 128 $ หลัก
และ N ต้อง $ \geqslant 3m $
ดังนั้นทุกๆพหุคูณ3 ของ3m จะหารด้วย 3m ลงตัวเสมอ
จึงพิจารณาแค่ว่า 3x9 หาร จำนวนนั้นลงตัวหรือไม่
9m หารด้วย 3m ลงตัว แต่หารด้วย 3x9 ไม่ลงตัว เพราะ 128 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว
(1+1+1+1+...+1 รวม 128 ตัว = 128 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว)
ทำนองเดียวกัน 18m ก็หารด้วย 3 ไม่ลงตัว
27m หารด้วย 3m ลงตัว และหารด้วย 27 ลงตัว
20 x m = จำนวน 129 หลัก
30 x m = จำนวน 129 หลัก
ดังนั้น 27m จึงมี 129 หลัก
ตอบว่า $N$ ที่น้อยที่สุดมี 129 หลัก