ที่ผมทำไว้ อาจถูกหรือผิดก็ได้
ท่านอื่นทำวิธีต่างไปจากนี้ไหมครับ
มัธยมปลาย
อ้างอิง:
4. (5 คะแนน) ในการแข่งขันฟุตบอลรายการหนึ่งมีทีมเข้าร่วมการแข่งขันทั้งหมด $4$ ทีม
การแข่งขันเป็นแบบพบกันหมดคู่ละ $1$ ครั้งเท่านั้น และมีเกณฑ์การให้คะแนนดังนี้
ทีมชนะได้ $3$ คะแนน
ถ้าเสมอกันได้ทีมละ $1$ คะแนน
ทีมแพ้ไม่ได้คะแนน
ถ้าจบการแข่งขันแล้วปรากฎว่าทีมที่ได้อันดับที่ $4$ มีคะแนนรวม $4$ คะแนน
จงหาคะแนนรวมที่เป็นไปได้ทั้งหมดของทีมที่ได้อันดับที่ $1$
(เสนอโดยคุณ nooonuii)
|
ขออนุญาตตีความคำว่า "อันดับ" ก่อนนะครับ
ให้มี 4 ทีมเข้าแข่งขัน A, B, C, และ D
อันดับที่อาจเกิดขึ้นได้ดังนี้
A>B>C>D ----->(4 ทีมคะแนนต่างกัน, A คะแนนอันดับ 1, Dเป็นอันดับ4)
A>(B=C)>D ----> (A อันดับ 1, BกับCคะแนนเท่ากัน เป็นอันดับ 2 ร่วมกัน, D อันดับ 4)
(A=B)>C>D ----> (AและB คะแนนเท่ากัน เป็นอันดับหนึ่งร่วม, C อันดับ 3, D อันดับ 4)
(A=B=C)>D ----> (อันดับหนึ่งมี 3 ทีมร่วมกัน, จึงไม่มีอันดับ 2, 3, ข้ามมาอันดับ 4 คือ D)
A>(B=C=D) ----> (อันดับหนึ่งมี 1, อันดับ 4 ไม่มี อย่างนี้ต้องนับว่า B,C,D เป็นอันดับ 2 ร่วม )
(A=B) > (C=D) ----> (อันดับหนึ่งมี 2ทีมเท่ากัน,C กับ D คะแนนเท่ากัน จึงเป็นอันดับ 3 ร่วม ไม่ใช่อันดับ 4 )
ในการแข่งขันแบบพบกันหมด แบบคู่ละครั้ง ไม่มีเหย้า ไม่มีเยือน จึงมีการแข่งขันทั้งสิ้น 6 match
outcome ที่ออกมา 3 แบบ(แพ้-ชนะ-เสมอ) มี 12 outcome (แพ้-ชนะ-เสมอ รวมกันเป็น 12 outcome)
ถ้ามีเสมอ จะต้องมีเสมอเป็นจำนวนคู่คือ 2 หรือ 4 หรือ 6 ..... outcome
และถ้ามีชนะ-แพ้ ชนะกับแพ้ต้องเท่ากัน (มีทีมชนะ ก็ต้องมีทีมแพ้)
โจทย์บังคับว่าทีม D ที่ได้อันดับ 4 มี 4 คะแนน
แปลว่า ทีม D ต้อง ชนะ 1 แพ้ 1 เสมอ 1 เท่านั้น ไม่มีchoice อื่น
คะแนนของ D จึงเป็น 3+0+1 = 4
จึงเหลืออีก 9 outcome
ใน 9 outcome ต้องมี เสมอ 1 (เสมอกับทีม D)
จึงเหลือ 8 outcome ซึ่งแบ่งเป็น ชนะ 4 แพ้ 4
คะแนนที่จะเกิดขึ้นสูงสุดคือ ชนะ4+เสมอ 1 รวม (4x3) +1 = 13 คะแนน
13 คะแนน แบ่งให้อีก 3 ทีม (D ได้ไปแล้ว 4) ดังนี้
กรณี A>B>C>D
9>3>1>4 ไม่valid เพราะ D จะไม่เป็นอันดับ 4
(แข่ง 3 ครั้ง ไม่มี 8 คะแนน)
7>5>1>4 ไม่valid เพราะ D จะไม่เป็นอันดับ 4
7>4>2>4 ไม่valid เพราะ D จะไม่เป็นอันดับ 4
6>4>3>4 ไม่valid เพราะ D จะไม่เป็นอันดับ 4
6>5>2>4 ไม่valid เพราะ D จะไม่เป็นอันดับ 4
กรณี A>(B=C)>D
9>(2=2)>4 ไม่valid เพราะ D จะไม่เป็นอันดับ 4
7>(3=3)>4 ไม่valid เพราะ D จะไม่เป็นอันดับ 4
5>(4=4)>4 ไม่valid เพราะ D จะเป็นอันดับ 2ร่วม ไม่ใชาอันดับ4
กรณี (A=B)>C>D
(6=6)>1>4 ไม่valid เพราะ D จะไม่เป็นอันดับ 4
(5=5)>3>4 ไม่valid เพราะ D จะไม่เป็นอันดับ 4
(4=4)>5>4 ไม่valid เพราะ D จะไม่เป็นอันดับ 4
กรณี (A=B=C)>D
เป็นไปไม่ได้ เพราะ 13 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว
กรณี A>(B=C=D)
5>(4=4=4) อย่างนี้ สามทีมหลังมีคะแนนเท่ากัน ก็ต้องเป็นที่ 2 ร่วม ไม่ใช่ที่4
กรณี (A=B) > (C=D)
(A=B) > (4=4) เป็นไปไม่ได้เพราะ เหลือ 9 หารด้วย 2 ไม่ลงตัว
จึงสรุปว่า เป็นไปไม่ได้ที่อันดับ 4 จะมีคะแนนเป็น 4
ตอบคำถาม "จงหาคะแนนรวมที่เป็นไปได้ทั้งหมดของทีมที่ได้อันดับที่ $1$" ว่า
ไม่มีคะแนนที่เป็นไปได้ Q.E.D.