ที่ผมทำไว้ อาจถูกหรือผิดก็ได้
ท่านอื่นทำวิธีต่างไปจากนี้ไหมครับ
มัธยมปลาย
อ้างอิง:
(5 คะแนน) หาค่า $A$ ที่น้อยที่สุดซึ่งทำให้สำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปใดๆ ที่มีพื้นที่รวมกันเท่ากับ $1$ จะมีสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่ $A$ โดยที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส $2$ รูปนั้นสามารถบรรจุอยู่ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ (โดยไม่มีพื้นที่ซ้อนทับกัน)
สมมติให้ด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนานกับด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า
(เสนอโดยคุณ Heir of Ramanujan)
|
โดยหลักง่าย ของที่ใส่เข้าไป จะต้องเล็กกว่าของห่อหุ้ม
ดังนั้นสี่เหลี่ยมผืนผ้าต้องมีพื้นที่เท่ากับหนึ่ง 1 หรือมากกว่า 1 จะน้อยกว่า 1 ไม่ได้
$A \geqslant 1 $
(A จึงน้อยที่สุดได้ = 1 น้อยกว่านี้ไม่ได้)
ดังนั้นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปนั้นต้องมีช่องว่างน้อยที่สุดจึงจะทำให้สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่น้อยที่สุ ด
พื้นที่น้อยที่สุด ก็คือสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปนั้นต้องเท่ากัน คือแต่ละรูปมีพื้นที่ $\frac{1}{2}$ ตารางหน่วย และ A มีพื้นที่ 1 ตารางหน่วย
พิสูจน์โดยอสมการตามรูปข้างล่างนี้
รูป ข ให้ $y > x$
พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า $=$ สีเขียว + สีเหลือง + สีขาว
$ \ \ \ \ \ \ y(y+x) = y^2 + x^2 +x(y-x)$
$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 1 +x(y-x)$ ...... ( เพราะว่าโจทย์กำหนด $ y^2 + x^2 =1$)
จะเห็นได้ว่า $y(y+x)$ > 1
หรือ $y(y+x)$ = 1 เมื่อ $x(y-x) =0$
นั่นคือ $x(y-x) =0$ ---> $x=y$
สรุปว่า $y(y+x)$ มีค่าน้อยที่สุด = 1 เมื่อ $x=y$ ตามรูป ก
ตอบว่า ค่า $A$ ที่น้อยที่สุด เท่ากับ 1