[เอกสิทธิ์]

ไหน ๆ ก็ไหน แล้วผมเฉลย เลยดีกว่าอันนี้เอาแนวความคิดมาจากของคุณ Onasdi แต่ผมจะเรียนเรียงรูปแบบของกระผม

หลักการของคุณ Onasdi จะอ้างอิงที่ฐานของรูป ของผมก็จะลองใช้แบบเดียวกับของเขาดู



จะเห็นได้ว่าชั้นที่ 1 จะมีเส้นตรงในแนวดิ่ง 2 เส้น เพื่อที่จะใช้ในการทำสี่เหลี่ยมดังนั้นการทำสี่เหลี่ยมจึงทำได้ $\pmatrix{2\\ 2}$รูป

ชั้นที่ 2 จะมีเส้นตรงในแนวดิ่ง 4 เส้น เพื่อที่จะใช้ในการทำสี่เหลี่ยมดังนั้นการทำสี่เหลี่ยมจึงทำได้ $\pmatrix{4\\ 2}$รูป

ชั้นที่ 3 จะมีเส้นตรงในแนวดิ่ง 6 เส้น เพื่อที่จะใช้ในการทำสี่เหลี่ยมดังนั้นการทำสี่เหลี่ยมจึงทำได้ $\pmatrix{6\\ 2}$รูป

ชั้นที่ $i$ จะมีเส้นตรงในแนวดิ่ง $2i$ เส้น เพื่อที่จะใช้ในการทำสี่เหลี่ยมดังนั้นการทำสี่เหลี่ยมจึงทำได้ $\pmatrix{2i\\ 2}$รูป

รูปสี่เหลี่ยมเหล่านี้เปรียบได้กับหัวของรูปสี่เหลี่ยม

เพื่อให้ผู้อ่านเห็นภาพว่าเปรียบได้กับหัวอย่างไร ผู้เขียนขอแสดงดังต่อไปนี้


จะเห็นได้ว่าสี่เหลี่ยมที่อยู่ตามชั้นต่าง ๆ สามารถแปลงเป็นสี่เหลี่ยมที่ใช้ชั้นที่ i เป็นฐานได้

ดังนั้นจำนวนสี่เหลี่ยมที่มีฐานที่ชั้น i เท่ากับ จำนวนสี่เหลี่ยมจากชั้นที่1 + จำนวนสี่เหลี่ยมจากชั้นที่ 2 + จำนวนสี่เหลี่ยมจากชั้นที่ 3 + ... จำนวนสี่เหลี่ยมจากชั้นที่ n
จำนวนสี่เหลี่ยมที่มีฐานที่ชั้น i = $\pmatrix{2\\ 2}$ + $\pmatrix{4\\ 2}$ + $\pmatrix{6\\ 2}$ + ... + $\pmatrix{2i\\ 2}$
จำนวนสี่เหลี่ยมที่มีฐานที่ชั้น i = $\frac{2!}{2!} + \frac{4!}{2!\cdot 2!} + \frac{6!}{2!\cdot 4!} + ... \frac{(2i)!}{2!\cdot (2i - 2)!}$
จำนวนสี่เหลี่ยมที่มีฐานที่ชั้น i = $\frac{2\cdot 1}{2!} + \frac{4\cdot 3}{2!} + \frac{6\cdot 5}{2!} + ... \frac{(2i)\cdot(2i - 1)}{2!}$
จำนวนสี่เหลี่ยมที่มีฐานที่ชั้น i = $\frac{2\cdot 1}{2} + \frac{4\cdot 3}{2} + \frac{6\cdot 5}{2} + ... \frac{(2)\cdot(2i - 1)}{2}$
จำนวนสี่เหลี่ยมที่มีฐานที่ชั้น i = $\frac{2\cdot 1 + 4\cdot 3 + 6\cdot 5 + ... (2i)\cdot(2i - 1)}{2}$

จำนวนสี่เหลี่ยมที่มีฐานที่ชั้น i = $\sum_{n = 1}^{i} \frac{(2n)\cdot(2n - 1)}{2}$
จำนวนสี่เหลี่ยมที่มีฐานที่ชั้น i = $\sum_{n = 1}^{i} n\cdot(2n - 1)$
จำนวนสี่เหลี่ยมที่มีฐานที่ชั้น i = $\sum_{n = 1}^{i} 2n^2 - n$
จำนวนสี่เหลี่ยมที่มีฐานที่ชั้น i = $2\cdot \frac{(i)(i + 1)(2i + 1)}{6} - \frac{i(i+1)}{2}$
จำนวนสี่เหลี่ยมที่มีฐานที่ชั้น i = $\frac{(i)(i + 1)(2i + 1)}{3} - \frac{i(i+1)}{2}$
จำนวนสี่เหลี่ยมที่มีฐานที่ชั้น i = $\frac{(2i)(i + 1)(2i + 1)}{6} - \frac{3i(i+1)}{6}$
จำนวนสี่เหลี่ยมที่มีฐานที่ชั้น i = $\frac{(i)(i + 1)(4i - 1)}{6}$

สรุปได้ว่า จำนวนสี่เหลี่ยมที่มีฐานที่ชั้น i = $\frac{(i)(i + 1)(4i - 1)}{6}$

หนทางใกล้ความจริงไปทุกที
กรณีที่มี n ชั้น จะมีจำนวนสี่เหลี่ยมเท่ากับ จำนวนสี่เหลี่ยมที่ฐานชั้นที่ 1 + จำนวนสี่เหลี่ยมที่ฐานชั้นที่ 2 + จำนวนสี่เหลี่ยมที่ฐานชั้นที่ 3 + ... จำนวนสี่เหลี่ยมที่ฐานชั้นที่ n

จะได้ว่าจำนวนสี่เหลี่ยมทั้งหมดของรูป n ชั้น = $\sum_{i = 1}^{n} \frac{(i)(i + 1)(4i - 1)}{6} $
กำหนดให้ N แทนจำนวนสี่เหลี่ยมทั้งหมดของรูป n ชั้น

$N = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(i)(i + 1)(4i - 1)}{6}$
$ = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(4i^2 + 3i -1)(i)}{6}$
$ = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(4i^3 + 3i^2 -i)}{6}$
$ = \frac{n^2(n + 1)^2 + \frac{(n)(n + 1)(2n + 1)}{2} - \frac{n(n + 1)}{2}}{6}$
$ = \frac{n^2(n + 1)^2 + \frac{(n)(n + 1)(2n)}{2}}{6}$
$ = \frac{n(n + 1)(n^2 + n) + n(n + 1)(n)}{6}$
$ = \frac{n(n + 1)(n^2 +2n)}{6}$
$ = \frac{(n)(n + 1)(n)(n+2)}{6}$
$ = \frac{(n)^2(n + 1)(n+2)}{6}$

$ N = \frac{(n)^2(n + 1)(n+2)}{6}$