สำหรับข้อที่ 3 นะครับ
Step1:
จาก Fermat’s theorem เราจะได้ว่า
สำหรับทุกจำนวนเฉพาะ $p$
$x^p \equiv x (mod p) $
และถ้า $(x,p)=1$
จะได้ว่า $x^{p-1} \equiv 1 (mod p)$
นั่นคือ $(x^{\frac{p-1}{2}}-1)( x^{\frac{p-1}{2}}+1)\equiv 0 (mod p)$
ดังนั้น $ x^{\frac{p-1}{2}}-1 \equiv 0 (mod p)$-----(1)
หรือ $ x^{\frac{p-1}{2}}+1 \equiv 0 (mod p)$-----(2)
นอกจากนั้น จาก $p> 2$ จะได้ว่า $x$ ไม่มีทางที่จะสอดคล้อง (1)และ(2)พร้อมๆกันได้
(ถ้าไม่เช่นนั้น สังเกต (1)+(2): $2x^{\frac{p-1}{2}} \equiv 0 (mod p)$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้)
Step2:
ข้างล่าง จะแสดงว่า “ $x^{\frac{p-1}{2}}-1 \equiv 0 (mod p)$ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม $y$ ที่ทำให้ $y^2\equiv x (mod p)$”
“ขาไป” สมมติ $x^{\frac{p-1}{2}}-1\equiv 0 (mod p)$
จะได้ว่า $p \nmid x$
หลังจากนั้นพิจารณา สมการ $ay\equiv x (mod p)$
จาก $p \nmid x$ จะได้ว่า สำหรับทุก $1\leqslant a \leqslant p-1$
มี $y=y_a \in \{1,2,…,p-1\}$ เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ $ay\equiv x (mod p)$
สมมติ ถ้าไม่มีจำนวนเต็ม $y$ ที่ทำให้ $y^2 \equiv x (mod p)$
พิจารณาการจับคู่ของจำนวนในเซต $\{1,2,…,p-1\}$
โดยเราจะสามารถจับคู่ระหว่าง $a$ กับ $y_a$ ซึ่งจะจับคู่กันได้$\frac{p-1}{2}$คู่พอดี
ทำให้ได้ว่า $(p-1)! \equiv x^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 (mod p)$
ซึ่งขัดแย้งกับ Wilson’s theorem : $(p-1)! \equiv -1 (mod p)$
ดังนั้น จึงได้ว่า มีจำนวนเต็ม $y$ ที่ทำให้ $y^2\equiv x (mod p)$
“ขากลับ” สมมติ มีจำนวนเต็ม $y_0$ ที่ทำให้ ${y_0}^2 \equiv x (mod p)$
จะได้ว่า ${y_0}^{p-1} \equiv x^{\frac{p-1}{2}} (mod p)$
จาก $p \nmid x$ ดังนั้น $p \nmid y_0$
จาก Fermat’s theorem ได้ว่า ${y_0}^{p-1} \equiv 1(mod p)$
ดังนั้น $x^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 (mod p)$
Step3:
ต่อไป จะแสดงว่า “มี $x \in \{1,2,…,p-1\}$ อยู่ $\frac{p-1}{2}$ ตัวพอดีที่จะทำให้ มีจำนวนเต็ม $y$ ที่ $y^2 \equiv x (mod p)$ ”
ที่จริงแล้ว พิจารณา $y=-\frac{p-1}{2},-\frac{p-1}{2}+1,…,-1,1,…,\frac{p-1}{2}-1, \frac{p-1}{2}$ ( นี่คือค่าทั้งหมดที่เป็นไปได้ที่ไม่คอนกรูเอนซ์กัน mod p ของ $y$)
จึงได้ว่า $x \equiv (-\frac{p-1}{2})^2,(-\frac{p-1}{2}+1)^2,…,(-1)^2,1^2,…,(\frac{p-1}{2}-1)^2,( \frac{p-1}{2})^2 (mod p)$
นั่นคือ $x \equiv 1^2,…,(\frac{p-1}{2}-1)^2,( \frac{p-1}{2})^2 (mod p)$
โดยที่ ทุก $1\leqslant i < j \leqslant \frac{p-1}{2} ,$ $i^2 \not\equiv j^2 (mod p)$
ดังนั้น มี $x \in \{1,2,…,p-1\}$ อยู่ $\frac{p-1}{2}$ ตัวพอดีที่จะทำให้ มีจำนวนเต็ม $y$ ที่ $y^2\equiv x (mod p)$
จาก Step1,2,3 จะได้ว่า $ x^{\frac{p-1}{2}}-1 \equiv 0 (mod p)$ มีราก(มอดุโล p) อยู่ $\frac{p-1}{2}$รากพอดี
และจาก Step1 เราได้แสดงแล้วว่า ทุก $x$ ถ้า $p \nmid x$ แล้ว $x$ จะต้องสอดคล้อง (1) หรือ (2) สมการใดสมการหนึ่ง (และสอดคล้องพร้อมกันไม่ได้)
ดังนั้น ถ้า $x \in \{1,2,…,p-1\}$ ไม่ใช่รากของ $ x^{\frac{p-1}{2}}-1\equiv 0 (mod p)$ ก็จะต้องเป็นรากของ $ x^{\frac{p-1}{2}}+1 \equiv 0 (mod p)$
นั่นคือ $ x^{\frac{p-1}{2}}+1 \equiv 0 (mod p)$ มีราก(มอดุโล p) อยู่ $(p-1)-\frac{p-1}{2}=\frac{p-1}{2}$รากพอดี
|