[Dr.kimanatomy]

เก่งครับ แต่ผมขำประโยคแรก "คิดออกแล้วครับ" หวังว่าคุณเอกสิทธิ์คงไม่ได้อุทานเป็นสำเนียงพม่า (ล้อเล่นครับ)
เผอิญผมสอน math ให้กับห้อง EIS เป็นภาษาอังกฤษ ของให้ศัพท์อังกฤษบ้างละกันนะครับ

การเดินเข้าไปกระทำใดๆ ก็คือเป็นการบอกว่าเลขประจำตู้นั้น มีเลขที่ของนักเรียนคนนั้นหารลงตัว และเมื่อเริ่มด้วยปิด ไว้ก่อน ครั้งที่ 1 มาเปิด ครั้งที่ 2 มาปิด ดังนั้น ครั้งที่คี่จะเปิด ครั้งที่คู่จะปิด แล้วเด็กที่จะไปที่ตู้นั้นก็คือจำนวนของ factorนั่นเอง

1. factor ของ $1$ มี 1 เท่านั้น ดังนั้นตู้ที่ 1 เปิด

2. factor ของ prime มี 1 กับตัวมันเองดังนั้น ตู้ $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97$ รวม 25 ตู้ ปิด

3. factor ของ perfect square numbers จะเป็นจำนวนคี่ เป็นดั่งที่ผู้ตอบอธิบายไป แต่เน้นว่า perfect square เท่านั้น perfect cube หรือ perfect อื่นๆ ไม่เกี่ยว (เผอิญเห็นผู้ตอบทำตัวหนาที่คำว่า "จำนวนที่หาราก" แต่ไม่ได้บอกว่ารากที่ 2 ) ดังนั้น ตู้ $4,9,16,25,36,49,64,81,100$ รวม 9 ตู้ จะเปิด (เอา 1 มาด้วยก็ได้ แต่อยากแยกไปโดดๆ มากกว่า)

4. factor ของ composit number ใดๆ ไม่ใช่ perfect square จะมีจำนวน factor เป็น คู่ โดยถ้าเขียนเลขในรูป "power of prime numbers" form แล้ว เช่น $24=2^3\times 3$ จำนวน factor คือ $(3+1)\times (1+1)$ นั่นคือมี 8 ตัว (จะเห็นว่ากำลังของ composit number ใน "power of prime numbers" form ที่ไม่ใช่ perfect square จะต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเป็นเลขคี่ เพราะถ้าเป็นคู่ทุก power ของ prime ก็จะเป็น perfect square นั่นเอง) ดังนั้นตู้ที่เหลืออีก 65 ตู้ จะปิด

สรุป ปิดทั้งหมด 10 ตู้ เก่งมากนะครับ ยิ่งทำเป็นสูตรมายิ่งแจ๋วใหญ่

คำถามตาม
1. ตู้แรกถูกสัมผัสน้อยที่สุดแค่ 1 ครั้ง แล้วตู้ไหน(บ้าง)ถูกสัมผัสมากที่สุด กี่ที
2. ถ้าให้สติ๊กเกอร์กับนักเรียนไปแปะตู้ที่ตัวเองไปปิดหรือเปิดด้วยแล้ว จะต้องใช้สติ๊กเกอร์ทั้งหมดรวมทุกคนเท่าไหร่
3. ถ้าให้นักเรียนเข้ามาวนทำคล้ายเดิมอีกครั้ง คือ เปลี่ยนจากปิดเป็นเปิดจากเปิดเป็นปิด ต่อจากผลครั้งก่อน สุดท้ายจะปิดกี่ตู้

สุดท้าย ความจริงน่าจะไปวางที่ทฤษฎีจำนวนนะเนี่ย ขอโทษด้วยครับ