[picmy]

สำหรับข้อแรกนะครับ
ผมเห็นด้วยกับคุณ nooonuii ครับว่า ตรง $\phi(n)$ควรจะเป็น $\phi(d)$

ก่อนอื่น จะแสดงก่อนว่า
$\{(x,y) \in \aleph \times \aleph |1\leqslant y\leqslant x\leqslant n \}=\{(id,(\sum_{m\mid id, m<d } \phi(m)) +j) | 1\leqslant d\leqslant n , 1\leqslant i\leqslant \left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor,0< j\leqslant \phi(d) \}$
เพื่อความสะดวก กำหนดให้
$A=\{(x,y) \in \aleph \times \aleph |1\leqslant y\leqslant x\leqslant n \}$
$B=\{(id,(\sum_{m\mid id, m<d } \phi(m)) +j) | 1\leqslant d\leqslant n , 1\leqslant i\leqslant \left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor,0< j\leqslant \phi(d) \}$
(ถ้างงว่าเซต B คืออะไร ก็ลองวาดกราฟออกมาดูนะครับ แล้วจะเห็นชัดขึ้น)
พิสูจน์ :
ก่อนอื่น ง่ายที่จะแสดงว่า $B\subseteq A$ (ใช้ $\sum_{m \mid x}\phi(m) = x$)
ต่อไป จะแสดงว่า $A \subseteq B$
ทุก $(x',y') \in A$
เนื่องจาก $\sum_{m \mid x'}\phi(m) =x'$ และ $1\leqslant y' \leqslant x'$
จะได้ว่า มี $d \in \{1,2,...,n\}$ ซึ่ง $d \mid x'$ ที่ทำให้ $\sum_{m\mid x', m<d } \phi(m)< y' \leqslant \sum_{m\mid x', m\leqslant d } \phi(m))$
$(x',y') = ((\frac{x'}{d})d,\sum_{m\mid x', m<d } \phi(m)+(y'-\sum_{m\mid x', m<d } \phi(m))) \in B$
(หมายเหตุ:ลองเลือก $i= \frac{x'}{d} , j= y'-\sum_{m\mid x', m<d } \phi(m)$)
นั่นคือ $A \subseteq B$
ดังนั้น $A=B$
และเนื่องจาก $\#A= \frac{n(n+1)}{2}$
$\#B= \sum_{d=1}^{n}\phi(d)\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor $
จึงได้ว่า $\frac{n(n+1)}{2}=\sum_{d=1}^{n}\phi(d)\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor $