อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ akungs
รบกวนถามหน่อยนะครับ พี่ nooonuii
Use Triangle inequality.
แล้วพี่หา z กับ w ยังไงหรอครับ
แล้วถ้าข้อนี้ถามค่าต่ำสุดจะใช้แนวคิดเดียวกันได้มั้ยครับ ช่วยอธิบายที
|
มีเงื่อนไขที่ทำให้สมการเป็นจริงอยู่ครับ
อสมการสามเหลี่ยม
$|z+w|\leq |z| + |w|$
จะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ มี $k\neq 0$ ซึ่งทำให้
$Re(z)=k Re(w)$ และ $Im(z)=k Im(w)$
กลับมาที่อสมการในโจทย์
สมมติว่า $z=a+bi,w=c+di$
จาก
$|z-w|=|(z+1-i)+(-w-1-i)+2i|$
$\leq |z+1-i|+|(-w-1-i)+2i|$
$\leq |z+1-i|+|-w-1-i|+|2i| $
$= 1+6+2=9$
จะได้ว่าสมการเป็นจริงเมื่อทุกบรรทัดเปลี่ยนเป็นสมการหมด
เราก็มาดูว่ามีการใช้อสมการสามเหลี่ยมตรงไหนบ้าง
เริ่มจาก $|(-w-1-i)+2i|=|-w-1-i|+|2i|=8$
$|(-c-1)+(d-1)i +(2i)|=|(-c-1)+(d-1)i|+|0+2i|$
ก็ต่อเมื่อ
$-c-1=k(0)$ และ $d-1=k(2)$ จึงได้ $c=-1,d=1+2k$
แต่จาก $|w+1+i|=6$ จะได้ $|d+1|=6$ ดังนั้น $d=5,-7$
แต่ถ้า $d=5$ จะได้
$|(-w-1-i)+2i|=|-6i+2i|=4\neq 8$
จึงได้ว่า $d=-7$ ดังนั้น $w=-1-7i$
กลับมาที่อสมการ
$|z-w|=|(z+1-i)+(-w-1-i)+2i|$
$\leq |z+1-i|+|(-w-1-i)+2i|$
$=|z+1-i|+|8i|$
$=|(a+1)+(b-1)i|+|8i|$
จะได้ว่า สมการเป็นจริงเมื่อ
$a+1=k(0)$ และ $b-1=k(8)$
ดังนั้น $a=-1,b=1+8k$
จากเงื่อนไข $|z+1-i|=1$ จะได้ $|b-1|=1$
ดังนั้น $b=0,2$
แต่ถ้า $b=0$ จะได้ว่า
$|z-w|=|-1+1+7i|=7\neq 9$
ดังนั้น $b=2$
จึงได้ $z=-1+2i,w=-1-7i$ ซึ่งสอดคล้องทุกเงื่อนไขที่เราต้องการ
ส่วนค่าต่ำสุดผมยังไม่ได้ลองคิดครับ
คิดว่าคงยากกว่าค่าสูงสุดเพราะใช้อสมการสามเหลี่ยมแบบเดิมไม่ได้