ขอเฉลยของคุณ -InnoXenT- ละกันครับ
จาก $x^2+xy+y^2=0$ ได้ว่า $\frac{x}{y}=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$
กรณีืที่ 1 $\frac{x}{y}=-\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i$
จะได้ $\frac{x}{y}+1=\frac{x+y}{y}=\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i$
ดังนั้น $\frac{y}{x+y}=\frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}i$
เปลี่ยนเป็นเชิงขั้วได้ $\frac{y}{x+y}=\cos \frac{5\pi}{3}+i\sin \frac{5\pi}{3}$
โดย เดอร์มัวร์ ได้ว่า $(z^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta))$
$\therefore (\frac{y}{x+y})^{2553}=cis (\frac{5\pi}{3}\times 2553)=cis \pi =-1$
ในทำนองเดียวกันได้ว่า
$\frac{x}{x+y}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=cis \frac{\pi}{3}$
จะได้ $(\frac{x}{x+y})^{2553}=cis(\frac{\pi}{3}\times 2553)=cis \pi =-1$
ดังนั้น $(\frac{x}{x+y})^{2553}+(\frac{y}{x+y})^{2553}=-2$
กรณีที่ 2 $\frac{x}{y}=-\frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}i$
เช่นเดียวกับกรณีที่ 1 ได้คำตอบเหมือนกัน
เพราะฉะนั้น $(\frac{x}{x+y})^{2553}+(\frac{y}{x+y})^{2553}=-2$
หมายเหตุ$cis \theta = \cos \theta + i\sin \theta$