1. ให้ u = x และ dv = (sinx) / ( 1 + cos^x) dx
du = dx และ v = integrate( sin x / ( 1 + cos^x) d (cosx) / -sinx
= -arctan( cos x )
2. โดย By part จะได้
โจทย์ = -x arctanx + integrate( arctan (cosx) dx ) *******
3. ทีนี้มาพิจารณา function
y = arctan x
เรายังคงจำกันได้ว่า ฟังก์ชันคู่ คือ f(-x) = f(x)
ฟังก์ชันคี่ คือ f(-x) = - f(x)
จะพบว่า f(x) = acrtan x
f(-x) = arctan(-x) = - arctan x
จึงเป็น ฟังก์ชัน คี่
4. ในแง่ของการอินทิเกรต เราจะนิยามว่า
f(x) เป็นฟังก์ชันคู่ ก็ต่อเมื่อ integrate จำกัดเขตตั้งแต่ -a ถึง a ของ f(x) dx จะ =
2 integrate จำกัดเขตตั้งแต่ 0 ถึง a ของ f(x) dx
f(x) เป็นฟังก์ชันคี่ ก็ต่อเมื่อ integrate จำกัดเขตตั้งแต่ -a ถึง a ของ f(x) dx จะ = 0
5. จากโจทย์ เมื่อ เรา อินทิเกรตจาก x = 0 ถึง pi
จะได้ว่า cos x มีค่า ตั้งแต่ -1 ถึง 1 นั่นเอง
ดังนั้น integrate( arctan (cosx) dx ) จึงมีค่า = 0 นั่นเอง
6. แทนค่า ลงในข้อ 2. จึงได้ = [ - ( pi)(-pi/4) ] - [ 0 ] = pi^2 / 4 ......Ans
|