มาเติมวิธีคิดบางข้อให้ครับ
(1) ข้อที่เป็น arccot
Guideline : ถ้าให้ $ F_n$ แทน ลำดับ Fibonacci โดย $ F_0 = F_1 =1 $ และ $ F_{n+1}=F_n + F_{n-1}$
แล้ว $a_1= F_4 \,\, ,a_2= F_6 \,\, ,a_3= F_8 \,\, ,a_4= F_{10} \cdots $
นอกจากนี้ เรายังได้ความสัมพันธ์ $ arccot (F_{2n}) = arccot (F_{2n-1}) -arccot (F_{2n+1}) $
ที่เหลือก็ไม่ยากแล้วล่ะครับ
หมายเหตุ:ข้อนี้ต้องพึ่งสมบัติของลำดับฟิโบนักซีที่ว่า $ F_{2n}^2 = F_{2n-1}F_{2n+1}+1$ และสูตร $\cot(A-B) $ )
(2) ข้อขอบโต๊ะไฮเพอร์โบลา
Guideline : ข้อนี้ ผมอาศัย สมบัติทาง optic ของไฮเพอร์โบลา ที่บอกว่า " ถ้ายิงลำแสงจากโฟกัสจุดหนึ่งของไฮเพอร์โบลาไปชนกราฟ แล้ว รังสีของแสงที่สะท้อนออก สามารถลากไปตัดโฟกัสอีกจุดได้"
ที่เหลือก็ใช้ปีธาโกรัส และคุณสมบัติที่ว่า $ |PF_1- PF_2| = 2a $ ของนิยามไฮเพอร์โบลา แก้สมการอีกนิดหน่อยก็น่าจะโอเคแล้วครับ (ในความรู้สึกผม มันยากแค่ตรง optic property นี่แหละ )
(3) ข้อจำนวนจินตภาพ 3 จำนวน
Guideline : จากสมการ $ z_1 \omega^2 + z_2 \omega +z_3 =0 $ และ $\omega^2+ \omega +1 =0 $ ทำให้ได้สมการ $ \omega = \frac{z_1-z_3}{z_2-z_1}$
และถ้าเราคูณสมการที่โจทย์ให้มาด้วย $ \omega$ และ $ \omega^2$ แล้ว apply สมบัติของ $ \omega$ ในบรรทัดข้างต้น ก็จะได้อีก 2 สมการ คือ $ \omega = \frac{z_2-z_1}{z_3-z_2}$ และ $\omega = \frac{z_3-z_2}{z_1-z_3}$
ใส่ค่าสัมบูรณ์ทั้ง 2 ข้างให้กับ 3 สมการใหม่ที่ได้มา พบว่า $ |z_1-z_3| =|z_2-z_1| = |z_3-z_2| $
ในแง่ของเรขาคณิต แสดงว่า ถ้า C เป็นวงกลมจุดศูนย์กลางที่ (0,0) และรัศมี 2 หน่วย แล้ว พิกัดของ $z_i$ ทั้ง 3 ตัวอยู่ห่างเท่ากันหมดบนเส้นรอบวง เกิดเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าซึ่งมีความยาวด้าน $ 2\sqrt{3}$ (เพราะรู้รัศมีวงกลมและมุมที่จุดศูนย์กลางที่บีบด้านของสามเหลี่ยมอยู่)
ดังนั้น ถ้า $ z_i = 2(\cos \theta_i + i \sin\theta_i) $ แล้วลองแทนค่ารูปแบบเชิงขั้วนี้ในสมการ
$|z_3-z_2|= 2\sqrt{3}$ จะได้ $ \cos (\theta_2- \theta_3) = -\frac{1}{2}$
กลับไปดูสิ่งที่โจทย์ถาม แล้วก็ลองแทนรูปแบบเชิงขั้วลงไป และค่าที่เราคำนวณได้ล่าสุดลงไป ก็จะได้คำตอบครับ
(4) ข้ออินทิเกรต
ผมเสนออีกวิธีนะครับ อาจจะมีกลิ่นอายของแคลคูลัสปี 1 หน่อยๆ
จาก post ก่อนๆ พอจะเห็นได้ว่า ปัญหาที่ค้างอยู่ตอนนี้ คือการหาค่า $ I_1= \int_0^ \pi \cos(2x+2\sin 3x) \,\, dx $ และ $ I_2= \int_0^ \pi \cos(4x+4\sin 3x) \,\, dx $
ผมจะทำตรง $ I_1$ ให้ดูอย่างเดียวนะครับ เพราะอีกตัวก็ทำวิธีเดียวกัน
เนื่องจาก $\int_0^ a f(x) \,\, dx = \int_0^a f(a-x)\,\, dx $ ดังนั้น
$ I_1= \int_0^ \pi \cos(2x+2\sin 3x) \,\, dx = \int_0^ \pi \cos(2x-2\sin 3x) \,\, dx $
ทำให้เราได้สมการ $ I_1 + I_1 = \int_0^ \pi \cos(2x+2\sin 3x) + \cos(2x-2\sin 3x)\,\, dx $
ซึ่ง simplify ได้เป็น $ I_1= \int_0^\pi \cos(2x)\cos(2\sin 3x)\,\, dx$
จากนั้น อาศัย Maclaurin series ของ cos(x) มาช่วย ทำให้เราได้สมการด้านล่างนี้ครับ
$ I_1 = \int_0^\pi \cos(2x)(1-\frac{(2\sin 3x)^2}{2!} +\frac{(2\sin 3x)^4}{4!} -\frac{(2\sin 3x)^6}{6!}+\cdots )\,\, dx$
จากนั้นก็ integrate term by term เลยครับ ซึ่งพบว่าจะเกิด integrand ในรูปแบบ $ \int_0^ \pi \cos 2x \sin^{2k}3x \,\, dx$ ซึ่งหาคำตอบได้ไม่ยากครับ และได้ค่า 0 เสมอ
p.s. ผมอยากเห็นวิธีทำข้อที่ทุก vector ในเซต แตกออกเป็น 2 vectors ย่อยได้จังเลยครับ
