[LightLucifer]

ให้ $P(n)$ แทนประโยคเปิด $2^{3^n}\equiv -1 (mod 3^n)$

Basic step
$8\equiv -1 (mod 3)$
$\therefore P(1)$ จริง

Induction step
ให้ $k\in \mathbb{N} $ โดยที่ $P(k)$ จริง
จะได้ว่า $2^{3^k}\equiv -1 (mod 3^k) $
นั่นคือจะมี $m\in \mathbb{Z} $ ซึ่ง $2^{3^k}+1=3^k(m)$

เนื่องจาก $2\equiv -1 (mod3)$
จะได้ว่า
$2^{23^k}\equiv 1 (mod3)$
$2^{3^k}\equiv -1 (mod3)$
ดังนั้น
$2^{23^k}-2^{3^k}+1\equiv 1-(-1)+1\equiv 3\equiv 0 (mod3)$
นั่นคือ $3\mid 2^{23^k}-2^{3^k}+1$
นั่นคือจะมี $l\in \mathbb{Z} $ ซึ่ง $2^{23^k}-2^{3^k}+1=3l$
พิจรณา $2^{3^{k+1}}+1=(2^{3^k})^3+1=(2^{3^k}+1)(2^{23^k}-2^{3^k}+1)=3^k(m)(3l)=3^{k+1}(ml)$
จะได้ว่า $2^{3^{k+1}}\equiv -1 (mod3^{k+1})$
$\therefore P(k+1)$ เป็นจริง

$\therefore P(n)$จริงโดย หลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์