เพิ่งจะสอบวิชา Combinatorics มาสดๆ ร้อนๆ ครับ ไม่รู้ว่าจะถูกรึเปล่า
สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ จะกล่าวว่า $n$ เป็น Ascending(Descending) digit
ก็ต่อเมื่อ ตัวเลขในแต่ละหลักของ $n$ เมื่ออ่านจากซ้ายไปขวา เป็นลำดับไม่ลด(ไม่เพิ่ม) โดยที่ไม่มีเลข 0 อยู่ใน $n$
เช่น 1244679 เป็น Ascending digit 644441 เป็น Descending digit แต่ 1465 ไม่เป็นทั้งสองอย่าง
จงหาจำนวน Ascending และ Descending digit ทั้งหมดที่น้อยกว่า 1,000,000,000
ผมสังเกตว่าเราสามารถนำเลข 0 มาต่อข้างหน้า n ให้มีความยาว 9 หลักได้ เช่น 000644441
ก็เลยคิดว่าจำนวนเลข 0-9 ทั้งหมดใน n ต้องรวมกันได้ 9
ให้ $x_{i}$ คือจำนวนของตัวเลข $i$ ที่ปรากฎใน $n$
ดังนั้นจำนวนของ Ascending digit ก็น่าจะเท่ากับจำนวนคำตอบของสมการ $x_{0}+x_{1}+x_{2}+...+x_{9}=9$
Descending digit ก็น่าจะเท่ากับจำนวนคำตอบของสมการ $x_{0}+x_{9}+x_{8}+...+x_{1}=9$ โดยที่ $x_{i}\geqslant 0$
ดังนั้นจำนวนของ Ascending และ Descending digit ทั้งหมดก็คือจำนวนของคำตอบของสมการทั้งสองมาบวกกัน
แต่ว่าบางจำนวนเป็นทั้ง Ascending และ Descending digit เช่น 1111 5555555
ก็เลยต้องเอาไปลบออก ซึ่งก็มีทั้งหมด 81 จำนวน
คร่าวๆ ก็ประมาณนี้ครับ ผิดพลาดตรงไหนก็ขอคำชี้แนะด้วยครับ
