อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gools
หาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของสมการ
\(x^3-y^3=2005(x^2-y^2)\)
|
วิธีของผมครับ เห็นได้ชัดว่าคำตอบคือ \((x,y)=(n,n)\) ทุกจำนวนเต็มบวก \(n\)
เนื่องจาก \(x^2+xy+y^2-2005x-2005y=3(2x+y-2005)^2+(3y^2-2005)^2-(4010)^2=0\)
ดังนั้น
\[3(2x+y-2005)^2+(3y-2005)^2=4010^2\]
ให้ \(2x+y-2005=a\) และ \(3y-2005=b\) เราจะได้สมการใหม่ว่า
\[3a^2+b^2=4010^2\qquad (1)\]
จะได้ว่า \(3a^2+b^2\equiv0(\bmod5)\) แต่ \(3a^2\equiv0,\pm 3(\bmod5)\) และ \(b^2\equiv0,\pm 1(\bmod5)\)
จะได้ว่า \(5|a\) และ \(5|b\)
และ \(3a^2+b^2\equiv0(\bmod401)\) ให้ \(401 \!\!\!\not| a\) โดย Fermat's Little Theorem จะได้ว่า \(a^{400}\equiv1(\bmod401)\) และ
\((3a^2)^{200}\equiv1(\bmod401)\) ดังนั้น \(3^{200}\equiv1(\bmod401)\) แต่ถ้าลองใช้พลังไล่ดูจะพบว่า \(3^{200}\equiv -1(\bmod401)\) ซึ่งเกิดข้อขัดแย้ง
ดังนั้นได้ว่า \(401|a\) และเราจะได้อีกว่า \(401|b\)
ดังนั้น \(2005|a\) และ \(2005|b\)
ให้ \(a=2005p\) และ \(b=2005q\) แทนลงใน (1) จะได้ว่า
\[2005^2(3p^2+q^2)=4010^2\]
ดังนั้น \(3p^2+q^2=4\) จะได้ว่า \((p,q)=(1,1),(0,2)\)
ดังนั้น \(b=2005,4010\) ดังนั้น \(3y-2005=2005\) และ \(3y-2005=4010\) ได้ว่า \(y=2005\) เป็นคำตอบเดียวเท่านั้น
แทนค่า \(y\) ลงใน (1) จะได้ว่า \(x=0\) แต่เนื่องจาก \(x\) เป็นจำนวนเต็มบวกจะได้ว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ -o-
Edit (warut): quote โจทย์