กลับมาอีกครั้งสำหรับข้อนี้
หลังจากไปงมตัวเลขมาแล้ว พบว่า
$16(1+\sqrt{2} )$ ควรเป็นพื้นที่รูปแปดเหลี่ยมด้านเท่า
$a+b\sqrt{2} $ เป็นความยาวด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ดังนั้น โจทย์จึงควรเป็นดังนี้
ถ้ารูปแปดเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีพื้นที่ $16(1+\sqrt{2} )$ ตารางหน่วย
เกิดจากการตัดมุมทั้งสี่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน $a+b\sqrt{2} $ หน่วย แล้ว
จงหาค่าของ $a+b$
แบบนี้โจทย์ชัดเจนดี
$ADJG$ เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีความยาวด้าน = $x+x\sqrt{2} $ หน่วย
และ $BCLKIHFE$ เป็นรูปแปดเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า มีพื้นที่ $16(1+\sqrt{2} )$ ตารางหน่วย ดังรูป
และสามเหลี่ยม $ABE$ มีพื้นที่ $\frac{1}{2} \cdot \frac{x\sqrt{2} }{2} \cdot \frac{x\sqrt{2} }{2} = \frac{x^2}{4}$ ตารางหน่วย
ดังนั้น สามเหลี่ยมที่ถูกตัดออกมีพื้นที่ $4 \cdot \frac{x^2}{4} = x^2 $ ตารางหน่วย
พื้นที่รูปแปดเหลี่ยม = พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส - พื้นที่สามเหลี่ยมที่ถูกฝานออก
$16(1+\sqrt{2} ) = (x+x\sqrt{2})^2 -x^2$
$16(1+\sqrt{2} ) = 2x^2(1+\sqrt{2})$
จะได้ว่า $ 2x^2 = 16$
$x = 2\sqrt{2} $
แทนค่า $x$ กับด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะได้
$ a+b\sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} \sqrt{2} $
$ a+b\sqrt{2} = 4 + 2\sqrt{2} $
ดังนั้น $a =4, \ \ \ \ b = 2$
$a+b = 4 + 2 = 6 $ Ans.