อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ khlongez
ผมลองคิดดูแล้วหนึ่งกับหนึ่งติดกัน ได้ 42ครั้ง
ส่วนหนึ่งกับสองติดกันได้ 36ครั้ง
ไม่รู้ว่าจะถูกหรือเปล่า แต่ก็พอเข้าใจว่าทำไมทั้งสองรูปแบบถึงได้ค่าคาดหวังไม่เท่ากันซึ่งพอจะอธิบายได้ดังนี้ครับ
ให้คำว่า "ทำสำเร็จ" หมายถึงการที่ทอยลูกเต๋าเรื่อยๆจนกว่าจะได้แต้มหนึ่งติดกัน2ครั้ง
X แทนเหตุการณ์ที่จะ "ทำสำเร็จ" ได้ด้วยการทอยลูกเต๋าทั้งหมดXครั้ง
เช่น X=4 หมายถึงเหตุการณ์ที่ทอยลูกเต๋าสี่ครั้ง โดยการทอยครั้งที่สามและสี่ได้แต้มหนึ่งทั้งคู่ และการทอยครั้งที่หนึ่งได้แต้มอะไรก็ได้
แต่การทอยครั้งที่สองต้องไม่ได้หนึ่ง (ไม่งั้นจะถือว่าทอยสำเร็จตั้งแต่ครั้งที่สาม)
X= 2 หมายถึงเหตุการณ์ที่ทอยลูกเต๋าเพียงสองครั้งและได้แต้มหนึ่งทั้งสองครั้ง
ซึ่งจะเห็นว่า X=1,X=2,X=3,...ต่างก็เป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกันโดยเด็ดขาดทั้งหมด
ให้ P(X) แทนความน่าจะเป็นที่เกิดเหตุการณ์X
เช่น P(X=5) หมายถึงความน่าจะเป็นที่ "ทำสำเร็จ" ด้วยการทอยลูกเต๋า5ครั้ง
จะได้ว่า P(X=1) = 0 <<< เพราะการทอยลูกเต๋าเพียง1ครั้งแล้วได้แต้ม1 แล้วก็ได้แต้ม1ซ้ำอีกครั้งมันเป็นไปไม่ได้ความน่าจะเป็นก็เลยเป็น 0
P(X=2) = 1/(6^2) <<<ความน่าจะเป็นที่ทอยครั้งแรกได้แต้ม1 เป็น1/6 เพราะงั้นทอย2ครั้งแล้วได้แต้ม1ทั้งครั้งก็เลยเป็น (1/6)(1/6) = 1/(6^2)
P(X=3) = (5/6)(1/(6^2)) << "ทำสำเร็จ"ด้วยการทอยลูกเต๋า3ครั้ง ก็หมายความว่าทอยครั้งที่2และทอยครั้งที่3ต้องออก1ทั้งคู่เลยได้ 1/(6^2) แต่การทอยครั้งแรกต้องไม่ได้แต้ม1จึงต้องคูณ5/6เพิ่ม เพราะถ้าทอยครั้งแรกได้แต้ม1แต่ครั้งที่2เรากำหนดให้มันได้แต้ม1ไปแล้วจะกลายเป็นว่าเรา "ทำสำเร็จ"ด้วยการทอย2ครั้ง ไม่ใช่3ครั้ง
P(x=4) = (5/6)(1/(6^2)) << ทอยครั้งที่3และ4ต้องออกแต้ม1ทั้งคู่เลยได้1/(6^2) และคูณ5/6เพิ่มเข้าไปด้วยเหตุผลทำนองเดียวกับP(X=3) ส่วนการทอยครั้งแรกจะได้แต้มอะไรก็ได้
P(X=5) = (35/36)(5/6)(1/(6^2)) << ทอยครั้งที่4และ5ต้องออกแต้ม1ทั้งคู่เลยได้1/(6^2) และคูณ5/6เพิ่มเข้าไปด้วยเหตุผลทำนองเดียวกับP(X=3)และP(X=4) ส่วนการทอย2ครั้งแรก จะได้แต้มออกมารูปแบบใดก็ได้ ที่ไม่ใช่ 1 1 ซึ่งการทอย2ครั้งแรกเป็นไปได้6*6=36รูปแบบ แต่ไม่เอา 1 1 เลยตัดไป1แบบเหลือ35แบบจากทั้งหมด36แบบ จึงคูณ35/36เพิ่มเข้าไป
ให้คำว่า "ทำงานเสร็จ" หมายถึงการที่ทอยลูกเต๋าเรื่อยๆจนได้แต้มหนึ่งและสองติดกัน (ได้หนึ่งก่อนแล้วค่อยต่อด้วยสอง)
Yแทนเหตุการณ์ที่จะ "ทำงานเสร็จ" ได้ด้วยการทอยลูกเต๋าทั้งหมดYครั้ง
ในทำนองเดียวกันกับด้านบนเราจะได้ว่า
P(Y=1) = 0
P(Y=2) = 1/(6^2)
P(y=3) = 1/(6^2)
P(Y=4) = (35/36)(1/(6^2)) เป็นต้น
จะเห็นว่า P(Y) กับ P(X) มันไม่เท่ากันหลายค่า เลยทำให้ค่าคาดหวังออกมาไม่เท่ากัน
|
อธิบายเพิ่มเติมด้วย
สีแดงแล้วนะครับ
ถ้าเข้าใจP(X)ก็คิดว่าน่าจะเข้าใจ P(Y ) ด้วย
ทีนี้ปัญหาอยู่ที่ว่าจะหารูปทั่วไป ของP(X=n)และ P(Y=n) ยังไง
ซึ่งขอติดเอาไว้อธิบายคราวหน้า