อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow
2. ถ้า $x+\frac{1}{x}=1$ แล้ว จงหาค่าของ $x^{2010}+\frac{1}{x^{2010}}+x^{2553}+\frac{1}{x^{2553}}$
|
ให้ $x \in \mathbb{C} $
พิจารณา $x+\frac{1}{x}=1$ ได้ว่า
$x^2+\frac{1}{x^2}=-1$
$x^4+\frac{1}{x^4}=-1$
.
.
.
$x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}=-1$ โดย $n \in \mathbb{Z} ^+$ และ $n\geqslant 1$ ดังนั้น $x^{2010}+\frac{1}{x^{2010}}=-1$
พิจารณา $x+\frac{1}{x}=1$ ได้ว่า
$x^3+\frac{1}{x^3}=-2$
$x^6+\frac{1}{x^6}=2$
$x^{12}+\frac{1}{x^{12}}=2$
.
.
.
$x^{3n}+\frac{1}{x^{3n}}=2$ โดย $n \in \mathbb{Z} ^+$ และ $n>1$ ดังนั้น $x^{2553}+\frac{1}{x^{2553}}=2$
เพราะฉะนั้น
$x^{2010}+\frac{1}{x^{2010}}+x^{2553}+\frac{1}{x^{2553}}=-1+2=1$