[passer-by]

ใกล้เทศกาล สอบโอลิมปิกรอบแรกแล้ว สำหรับน้องๆ คนไหน ที่จะสอบแล้วยังรู้สึกไม่ฟิตพอ มาลอง Warm up ด้วยคำถาม ชิมลางจากหลายแหล่งที่มา ได้เลยครับ

1. หาจำนวนเต็มบวก m,n ทั้งหมดที่เป็นไปตามสมการ m²= 1!+2!+...+n!
2. มีจำนวนเต็ม n กี่จำนวน ในช่วง 1 ถึง 2005 ที่ \( \large (2\times 6 \times 10 \times...\times(4n-2)) \) หารลงตัวด้วย n!
3. สี่เหลี่ยม ABCD แนบในวงกลม โดยด้านที่สั้นสุด คือ AB ถ้า \( \huge \frac{Area \triangle BCD}{Area \triangle ABD}\) เป็นจำนวนเต็ม

และ AB,BC,CD,DA เป็นจำนวนเต็มต่างกันที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 10 หาค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ AB
4. หา b ทั้งหมดที่ทำให้ (x,y) เป็น real solutions ของระบบสมการ
\[\huge \sqrt{xy}=b^{b} \]
\[\huge log_{b}(x^{log_{b}y})+ log_{b}(y^{log_{b}x}) =4b^{4} \]
5. ให้ k เป็นจำนวนนับ พิสูจน์ว่า จะมี จำนวนเต็มบวก n ซึ่ง \(\huge k=\frac{1+\sqrt{8n-7}}{2} \)
6. ให้ P เป็นจุดบนด้าน BC ของสามเหลี่ยม ABC และ PC=2BP และมุม ABC=45 องศา และมุม APC= 60องศา หาขนาดมุม ACB
7. กำหนด f(x)=x⁴+ax³+bx²+cx+d โดย a,b,c,d เป็นจำนวนจริง ถ้า y=2x-1 ตัด f(x) ที่ x=1,2,3 หา f(0)+f(4)
8. หาค่า x²+y²+ z² เมื่อ x,y,z เป็นจำนวนนับ และ \[\large 7x^{2}-3y^{2}+4z^{2}=8 \]
\[\large 16x^{2}-7y^{2}+9z^{2}=-3 \]

ANSWER (without explanation/proof)

1. m=n=1 และ m=n=3
2. ทุก n ตั้งแต่ 1 ถึง 2005
3. 5
4. \(\large (0,\frac{1}{\sqrt{2}}] \)
6. 75 องศา
7. 30
8. 165

ระดับความยากของ 8 ข้อนี้ ก็ยังไม่ถึงขั้น hard core ซักเท่าไหร่ เอาไว้ให้น้องๆอุ่นเครื่องเฉยๆ นะครับ

สุดท้าย อยากขอความเห็น พี่ๆ เพื่อนๆ น้องๆ น่ะครับ คือ ผมกลัวว่า สุดท้ายก็จะมีแต่พี่ๆ เพื่อนๆ มือ pro มาถามเอง อธิบายเอง อย่างเคย
ถ้าเป็นไปได้ อยากให้บทบาทในส่วน ของพี่ๆมือโปรทั้งหลาย ที่เลยช่วงมัธยมมาแล้ว ทำหน้าที่เฉพาะตั้งคำถาม หรือหาคำถามมาเพิ่ม ส่วนหน้าที่ตอบคำถาม เอาไว้ให้น้องๆ มัธยม ซึ่งถ้าน้อง ติดขัดข้อไหน หรือจะ show วิธีทำข้อไหน พี่ๆอย่างเราๆค่อยมีหน้าที่ ตรวจสอบหรือแนะนำเพียงอย่างเดียว จะดีกว่ามั้ยครับ