(Continue)
4. เพราะ $ x^4-8x^2 \in Q $ ดังนั้น $ x^4-8x^2+16= (x^2-4)^2 =a^2 \in Q $
CASE 1: ถ้า $ a \in Q $ แล้ว $ x^3-6x = x(a-2) \in Q $
แต่ x เป็นอตรรกยะ ดังนั้น $ a-2=0 $ หรือเท่ากับว่า $ x=\pm\sqrt{6} $
CASE 2: ถ้า $ a \notin Q $ พิจารณา $ (x^3-6x^2)^2 = a(a^2-12)+16 \in Q $
ดังนั้น $ a^2-12=0 $ หรือเท่ากับว่า $ x^2= 4\pm 2\sqrt{3} $
5. ให้ $ R_1, R_2 \dots R_k $ แทนสี่เหลี่ยมทั้งหมดที่มีจุดยอดเป็นจุดเดียวกับ polygon และบรรจุ P ดังนั้น สี่เหลี่ยมรูปที่ i จะ บรรจุสามเหลี่ยม 2 รูปที่มี P ข้างใน สมมติเป็น $ T _{i1} ,T_{i2} \quad \forall i =1,2, \dots k $
ในขณะเดียวกัน เราสามารถนับสามเหลี่ยม T ทั้ง 2k รูป ด้วยการยึดตัวสามเหลี่ยมเป็นหลัก กล่าวคือ
ถ้ากำหนด m= จำนวนสามเหลี่ยมที่บรรจุ P
(Note : m กับ 2k เป็นคนละตัวกันนะครับ เพราะอย่าลืมว่า ในสามเหลี่ยม 2k รูปนี้ อาจมีบางรูปเหมือนกัน)
เพราะสามเหลี่ยมดังกล่าว 1 รูป จะบรรจุในสี่เหลี่ยม n-3 รูป
ดังนั้น (m)(n-3)= 2k แต่ n เป็นเลขคู่ ดังนั้น m เป็นเลขคู่
ส่วนข้อ 2 ใช้ AM-GM และเรื่องอัตราส่วนของพื้นที่มาช่วย
ข้อ 3 แบ่ง p เป็น 2 กรณี คือ p= 2 , p > 2
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|