กรณีที่ $p=2$ เราก็เลือก $x=0,y=1$
ต่อไป ถ้า $p$ เป็นจำนวนคี่
พิจารณาเซต
$\displaystyle A=\left\{0^2,1^2,\cdots,\left(\frac{p-1}{2}\right)^2\right\}$
$\displaystyle B=\left\{-0^2-1,-1^2-1,\cdots,-\left(\frac{p-1}{2}\right)^2-1\right\}$
จะได้ว่า $|A|+|B|=p+1$
แต่ว่าจากที่ C.R.S. mod p มีสมาชิก $p$ ตัว ดังนั้นจะได้ว่า ใน $A$ และ $B$ รวมกัน จะมีสมาชิก 2 ตัวที่คอนกรูเอนท์กัน mod p (ก็คือว่า มีเศษได้ p แบบ แต่มีตัวเลขรวมกัน p+1 ตัว จากหลักรังนกพิราบ ก็ต้องได้ว่ามีตัวเลขอย่างน้อย 2 ตัว ที่มีเศษเหมือนกัน)
แต่สังเกตว่าสมาชิกใน $A$ ด้วยกันเอง จะไม่คอนกรูเอนท์กัน mod p และในทำนองเดียวกัน สมาชิกใน $B$ ด้วยกันเอง จะไม่คอนกรูเอนท์กัน mod p
ดังนั้น มี $\displaystyle x,y\in\left\{0,1,\cdots,\frac{p-1}{2}\right\}$ ซึ่ง $x^2\equiv -y^2-1\pmod{p}$ นั่นคือ $x^2+y^2+1\equiv0\pmod{p}$ ตามต้องการ
__________________
จะคิดเลขก็ติดขัด จะคิดรักก็ติดพัน 
|