อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ warut:
ข้อต่อไปขอเป็นโจทย์มาตรฐานละกัน
8. ให้พิสูจน์ว่า ตัวประกอบทุกตัวของจำนวนที่อยู่ในรูป \(2^{\displaystyle{2^n}}+1\) (n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0) จะต้องอยู่ในรูป \(k\cdot2^{n+1}+1\) (k เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0)
|
ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะที่หาร \(2^{\displaystyle{2^n}}+1\) ลงตัว
เราจึงได้ว่า \(2^{\displaystyle{2^n}}\equiv-1\pmod p\) และ \(2^{\displaystyle{2^{n+1}}}\equiv1\pmod p\)
ดังนั้น \(2^{n+1}\) จึงเป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ทำให้สมการ \(2^x\equiv1\pmod p\) เป็นจริง
จาก Fermat's Little Theorem เรารู้ว่า \(2^{p-1}\equiv1\pmod p\)
ดังนั้น \(2^{n+1}\mid p-1\) นั่นแสดงว่า p อยู่ในรูป \(k\cdot2^{n+1}+1\)
เนื่องจากผลคูณของจำนวนที่อยู่ในรูป \(k\cdot2^{n+1}+1\) จะยังคงอยู่ในรูปนี้ เราจึงสรุปได้ว่าตัวประกอบทุกตัวของ \(2^{\displaystyle{2^n}}+1\) จะต้องอยู่ในรูป \(k\cdot2^{n+1}+1\)
ต้องขอโทษด้วยนะครับถ้าข้อนี้ใช้ความรู้อะไรที่เกินระดับโอลิมปิกไป เพราะผมก็ไม่ค่อยรู้เรื่องเกี่ยวกับโอลิมปิกสักเท่าไหร่
ใครอยากตั้งข้อต่อไปเชิญได้เลยคร้าบ
