อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ R-Tummykung de Lamar:
ยังทำไม่ได้เลยครับ โพสต์เท่าที่คิดได้ก่อนละกันนะครับ
จาก \(\displaystyle{(abcabc)_{10}\ =\ (abc)_{10} \times 1001} \)
แยกตักประกอบได้ \( \displaystyle{1001\ =\ 7\times 11\times 13}\)
ให้ \(\displaystyle{(abcabc)_{10}+1\ =\ r^2} \)
\(\displaystyle{(abc)_{10}\times 7 \times 11 \times 13\ =\ r^2-1\ =\ (r-1)(r+1)} \)
จะได้ \( \displaystyle{7,11,13|(r-1)(r+1)} \)
เนื่องจากทั้งสามตัวเป็นจำนวนเฉพาดังนั้น ต้องหาร r - 1 , r + 1 ตัวใดตัวหนึ่งลง นั่นคือ
\(\displaystyle{r \equiv \pm 1\ (\bmod \ \ 7,11,13)} \)\(\displaystyle{\qquad ...(i)} \)
จาก \( \displaystyle{\ 111\leq (abc)_{10} \leq 999\ } \)
\( \displaystyle{\ 111111\leq (abc)_{10}\times 1001 \leq 999999\ } \)
\( \displaystyle{\ 111112\leq (abcabc)_{10}+1\leq 10^6\ } \)
\( \displaystyle{\ 334\leq r \leq 10^3\ } \)\(\displaystyle{\qquad ...(ii)} \)
จาก \(\displaystyle{(i)\ } \) และ \(\displaystyle{\ (ii)\ } \)จะได้ r เป็นจำนวนคู่ ที่ \( \displaystyle{\ 334\leq r \leq 10^3\ } \)
เอ..เดี๋ยวพรุ่งนี้มาลองทำต่อนะครับ ..ง่วงละ 
|
----------------------------------------------
ทำต่อที่ \(\displaystyle{\ (i)\ } \) นะครับ
กรณีที่ 1 \( \equiv \ \pm 1\) ทั้งสามตัว ( ( 1,1,1) หรือ (-1,-1,-1) )
ได้ \(\displaystyle{r \equiv \pm 1 (\bmod \ \ 1001)} \) ดูจากช่วงแล้ว กรณีนี้ได้คำตอบคือ r = 1000
นั่นคือ \( \displaystyle{(r-1)(r+1)\ =\ (999)(1001)\ =\ 999999} \)
สรุป a = b = c = 9
กรณีที่ 2 \( \equiv \ 1\) เหมือนกัน 2 ตัว[*]
กรณีที่ 2.1 7 กับ 11 เหมือนกัน
ได้ \(\displaystyle{r \equiv 1 (\bmod \ \ 77)} \)
ได้ \(\displaystyle{r \equiv -1 (\bmod \ \ 13)} \)
แก้สมการคอนกรูเอนซ์ได้
\(\displaystyle{r \equiv 155 (\bmod \ \ 1001)} \)
ดูจากช่วงแล้ว กรณีนี้ไม่มีคำตอบ
[*]
กรณีที่ 2.2 7 กับ 13 เหมือนกัน
ได้ \(\displaystyle{r \equiv 1 (\bmod \ \ 91)} \)
ได้ \(\displaystyle{r \equiv -1 (\bmod \ \ 11)} \)
แก้สมการคอนกรูเอนซ์ได้
\(\displaystyle{r \equiv 274 (\bmod \ \ 1001)} \)
ดูจากช่วงแล้ว กรณีนี้ไม่มีคำตอบ
[*]
กรณีที่ 2.3 11 กับ 13 เหมือนกัน
ได้ \(\displaystyle{r \equiv 1 (\bmod \ \ 143)} \)
ได้ \(\displaystyle{r \equiv -1 (\bmod \ \ 7)} \)
แก้สมการคอนกรูเอนซ์ได้
\(\displaystyle{r \equiv 573 (\bmod \ \ 1001)} \)
ดูจากช่วงแล้ว กรณีนี้ได้คำตอบคือ r = 573
นั่นคือ \( \displaystyle{(r-1)(r+1)\ =\ (572)(574)\ =\ 328328} \)
สรุป a = 3 , b = 2 , c = 8
กรณีที่ 3 \( \equiv \ -1\) เหมือนกัน 2 ตัว[*]
กรณีที่ 3.1 7 กับ 11 เหมือนกัน
ได้ \(\displaystyle{r \equiv -1 (\bmod \ \ 77)} \)
ได้ \(\displaystyle{r \equiv 1 (\bmod \ \ 13)} \)
แก้สมการคอนกรูเอนซ์ได้
\(\displaystyle{r \equiv 846 (\bmod \ \ 1001)} \)
ดูจากช่วงแล้ว กรณีนี้ได้คำตอบคือ r = 846
นั่นคือ \( \displaystyle{(r-1)(r+1)\ =\ (845)(847)\ =\ 715715} \)
สรุป a = 7 , b = 1 , c = 5
[*]
กรณีที่ 3.2 7 กับ 13 เหมือนกัน
ได้ \(\displaystyle{r \equiv -1 (\bmod \ \ 91)} \)
ได้ \(\displaystyle{r \equiv 1 (\bmod \ \ 11)} \)
แก้สมการคอนกรูเอนซ์ได้
\(\displaystyle{r \equiv 727 (\bmod \ \ 1001)} \)
ดูจากช่วงแล้ว กรณีนี้ได้คำตอบคือ r = 727
นั่นคือ \( \displaystyle{(r-1)(r+1)\ =\ (726)(728)\ =\ 528528} \)
สรุป a = 5 , b = 2 , c = 8
[*]
กรณีที่ 3.3 11 กับ 13 เหมือนกัน
ได้ \(\displaystyle{r \equiv -1 (\bmod \ \ 143)} \)
ได้ \(\displaystyle{r \equiv 1 (\bmod \ \ 7)} \)
แก้สมการคอนกรูเอนซ์ได้
\(\displaystyle{r \equiv 428 (\bmod \ \ 1001)} \)
ดูจากช่วงแล้ว กรณีนี้ได้คำตอบคือ r = 428
นั่นคือ \( \displaystyle{(r-1)(r+1)\ =\ (427)(429)\ =\ 183183} \)
สรุป a = 1 , b = 8 , c = 3
รวมทุกกรณี ได้ \( \displaystyle{(a,b,c)\ =\ (9,9,9)\ ,\ (3,2,8)\ ,\ (7,1,5)\ ,\ (5,2,8)\ ,\ (1,8,3)}\)