อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ gools:
23. หาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มของสมการ
\[x^3+y^3+z^3=500\]
|
เริ่มจากสังเกตว่าผลรวมของสามจำนวนเต็มใดจะเป็นเลขคู่ก็ต่อเมื่อ i)ทั้งสามตัวเป็นเลขคู่ หรือ ii)เป็นเลขคี่สองตัว เลขคู่หนึ่งตัว และเศษที่ได้จากการหารกำลังสามของจำนวนเต็มใดด้วยสามจะเท่ากับเศษที่ได้จากการหารจำนวนเต็มนั้นด้วยสาม และ $500\equiv2\bmod{3}$ ดังนั้นจึงแจงกรณีได้ดังนี้ (จำนวนเต็ม a,b,c ในแต่ละกรณีไม่จำเป็นต้องเท่ากัน)
$\begin{array}{llclll}
ก) x,y,z คู่,& x,y\equiv0(3),\ z\equiv2(3) &\Rightarrow& x=6a,& y=6b,& z=6c+2\\
ข) x,y,z คู่,& x,y\equiv1(3),\ z\equiv0(3)&\Rightarrow& x=6a+4,& y=6b+4,& z=6c\\
ค) x,y,z คู่,& x,y\equiv2(3),\ z\equiv1(3)&\Rightarrow& x=6a+2,& y=6b+2,& z=6c+4\\
ง) x คู่, y,z คี่,& x,y\equiv0(3),\ z\equiv2(3)&\Rightarrow& x=6a,& y=6b+3,& z=6c+5\\
จ) x คู่, y,z คี่,& x,y\equiv1(3),\ z\equiv0(3)&\Rightarrow& x=6a+4,& y=6b+1,& z=6c+3\\
ฉ) x คู่, y,z คี่,& x,y\equiv2(3),\ z\equiv1(3)&\Rightarrow& x=6a+2,& y=6b+5,& z=6c+1\\
\end{array}$
ทุกกรณี (แสดงเฉพาะกรณี ก ที่เหลือทำคล้ายๆกัน) แทน x,y,z ในสมการโจทย์ รวมเทอมแล้วลบด้วยจำนวนเต็มที่ไม่ติดตัวแปรจะได้ $(6a)^3+(6b)^3+(6c+2)^3-2^3=492$ ซึ่ง 18 หารผลรวมทางซ้ายมือลงตัว แต่หารทางขวามือไม่ลงตัว
ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าสมการที่ให้ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม###
งวดนี้ลองโจทย์ที่ยากกว่าเดิมหน่อยละกัน
24. (KöMaL ข้อ N.149) The sequence $(a_n)$ is defined by the following recursion: $$a_0=a_1=1,\ (n+1)a_{n+1}=(2n+1)a_n+3na_{n-1}.$$ Prove that the sequence consists of integers.