อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ dektep:
44. Let $x,y,z$ be positive integers such that $$\frac1x-\frac1y=\frac1z.$$Let $h$ be the greatest common divisor of $x,y,z$. Prove that $hxyz$ and $h(y-x)$ are perfect squares.
|
พิสูจน์
กรณีที่ 1: $h=\gcd(x,y,z)=1$
จาก $\dfrac1x-\dfrac1y=\dfrac1z$ ดังนั้น $(y-x)(z-x)=x^2$
ต่อไปเราจะแสดงว่า $\gcd(y-x,z-x)=1$
สมมติให้มีจำนวนเฉพาะ $p$ ที่หาร $\gcd(y-x,z-x)$ ลงตัว จากที่ $(y-x)(z-x)=x^2$ ดังนั้น $p\mid x^2$ นั่นคือ $p\mid x$ และเนื่องจาก $p\mid y-x$ และ $p\mid z-x$ ดังนั้น $p\mid y$ และ $p\mid z$ แสดงว่า $p$ เป็นตัวหารร่วมของ $x,y,z$ จึงขัดแย้งกับที่เราสมมติว่า $\gcd(x,y,z)=1$ ดังนั้น $\gcd(y-x,z-x)$ จึงต้องเป็น $1$
จากที่ $(y-x)(z-x)=x^2$ และ $\gcd(y-x,z-x)=1$ ดังนั้น $y-x$ (และ $z-x$) จึงเป็น perfect square และเนื่องจาก $xyz=(y-x)z^2$ ดังนั้น $xyz$ จึงเป็น perfect square ด้วย
กรณีที่ 2: $h>1$
ให้ $x=hx'$, $y=hy'$, $z=hz'$ เราจะได้ว่า $\gcd(x',y',z')=1$ และ $\dfrac{1}{x'} -\dfrac{1}{y'} =\dfrac{1}{z'}$
จากกรณีที่ 1 เราจึงได้ว่า $x'y'z'$ เป็น perfect square ดังนั้น $hxyz=h^4x'y'z'$ จึงเป็น perfect square และเนื่องจาก $hxyz=h(y-x)z^2$ ดังนั้น $h(y-x)$ จึงเป็น perfect square ด้วย
ป.ล. ช่วงนี้ผมคงแทบไม่มีโอกาสได้เข้ามาเล่น ขอให้สนุกกันให้เต็มที่นะครับ
