ไม่ไหวแล้วคืนนี้นอนดีกว่า
แปะกรณีอย่างง่าย ของข้อ 3 คือ \(x \ge 1, y \ge 1, z \ge 1\) เผื่อมีคนนำวิธีนี้ไปคิดต่อได้
\( LHS. \ge 0 \iff \)
\((x^5 - x^2)(x^2 + y^5 + z^2)(x^2 + y^2 + z^5) + (y^5 - y^2)(x^5 + y^2 + z^2) + (z^5 - z^2)(x^5 + y^2 + z^2)(x^2 + y^5 + z^2) \ge 0 \cdots (1)\)
(โดย A.M - G.M)
\(\because \frac{x^2 + y^5 + z^2}{3} \ge ((xyz)^2y^3)^{\frac{1}{3}} \ge (y^3)^{\frac{1}{3}} = y \Rightarrow x^2 + y^5 + z^2 \ge 3y \)
ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า
LHS. จาก (1)\( \ge (x^5 - x^2)(3y)(3z) + (y^5 - y^2)(3x)(3z) + (z^5 - z^2)(3x)(3y)\)
\(= 9 [(x^5 - x^2)yz + (y^5 - y^2)zx + (z^5 - z^2)xy ] \)
\(= 9 [(xyz)x^4 - x^2yz + (xyz)y^4 - y^zx + (xyz)z^4 - z^2xy ]\)
\(= \ge 9[ x^4 - x^2yz + y^4 - y^zx + z^4 - z^2xy]\)
\(= 9[ x^4 + y^4 + z^4 - zyx(x + y + z) ] \ge 0\)
เพราะโดย อสมการ Chebyshev และ A.M- G.M
\(x^4 + y^4 + z^4 \ge \frac{1}{3}(x^3 + y^3 + z^3)(x + y + z)\)
\(\ge \frac{1}{3}3(xyz)(x + y + z) = xyz(x + y + z)\)
