[Punk]

ข้อ 3 วันแรก
จะพิสูจน์อสมการที่แรงกว่า คือ
\[
\sum\frac{x^5}{x^5+y^2+z^2}\geq1\geq\sum\frac{x^2}{x^5+y^2+z^2}
\]
อสมการซ้ายมือ:
พิจารณา
\[ y^2+z^2=\frac{y^3}{y}+\frac{z^3}{z}\leq\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{y}=\frac{1}{yz}\left(y^4+z^4\right)\leq x\left(y^4+z^4\right)\]
ดังนั้น
\[
\sum\frac{x^5}{x^5+y^2+z^2}\geq\sum\frac{x^5}{x^5+x(y^4+z^4)}=\sum\frac{x^4}{x^4+y^4+z^4}=1
\]
อสมการขวามือ: W.L.O.G. ให้ \( x\leq y\leq z\)
พิจารณา
\[
x^5+y^2+z^2\geq\frac{x^4}{yz}+y^2+z^2=\frac{1}{yz}(x^4+y^3z+z^3y)\geq\frac{1}{yz}(x^2yz+y^2zx+z^2xy)
\]
ทำนองเดียวกัน \( y^4+z^3x+x^3z\geq y^2zx+z^2xy+x^2yz\) และ \( z^4+x^3y+y^3x\geq z^2xy+x^2yz+y^2zx\)
ดังนั้น
\[
\sum\frac{x^2}{x^5+y^2+z^2}\leq\sum\frac{x^2yz}{x^2yz+y^2zx+z^2xy}=1
\]
หมายเหตุ ใช้อสมการ rearrangement ในการพิสูจน์