อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step
จงพิสูจน์ว่า $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\geq \frac{x+y}{2}$
พิสูจน์ได้แต่มัน ไม่รู้ว่าเป็นผลสำเร็จรึเปล่า ช่วยตอบทีครับ
|
กรณี $RHS<0$
เป็นจริงอย่างเห็นได้ชัด เพราะ $LHS \geq 0$ เสมอ
กรณี $RHS\geq0$
กำลังสองทั้ง 2 ข้างได้ (เพราะเ็ป็นบวกทั้ง 2 ข้าง)
จะได้ $\frac{x^2+y^2}{2}\geq\frac{x^2+2xy+y^2}{4}$
$\Leftrightarrow 2x^2+2y^2\geq x^2+2xy+y^2$
$\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0$
ซึ่งเป็นจริง
จริงๆ แล้ว ตัว $LHS$ นี้อาจเรียกได้ว่า RMS(Root Mean Square) หรือ QM(Quadratic Mean) ครับ
ซึ่งเราจะได้ว่า $QM \geq AM \geq GM \geq HM$ ครับ
($QM = \sqrt{\dfrac{a_1^2+a_2^2+\ldots +a_n^2}{n}}$)
ป.ล. ผมบอกผิดตรงไหนบอกด้วยนะครับ
