อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ GoRdoN_BanksJunior
มีอีกข้อครับ...
จงหาอัตราส่วนระหว่าง
พื้นที่ ABC : พื้นที่ DEF |
มีแต่รูปไม่มีรายละเอียดอะไรเลย
ผมกำหนดเองก้แล้วกัน
ABC เป็นสามเหลี่ยนมด้านเท่า
เมื่อลากเส้นตามอัตราส่วนดังกล่าว จะได้ AQ = BR = CP และ DEF เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า (พิสูจน์เองนะครับ)
สามเหลี่ยม BEQ คล้ายสามเหลี่ยม BRC จะได้
$\frac{a}{m+n} = \frac{m}{a+b+c} = \frac{c}{m}$
$a(a+b+c) = m(n+m)$ ...(1)
$c(a+b+c) = m^2$ ...(2)
สามเหลี่ยม AER คล้ายสามเหลี่ยม ACQ จะได้
$\frac{AR}{AQ} = \frac{ER}{QC} = \frac{AE}{EC}$
$\frac{n}{a+b+c} = \frac{b+c}{n} = \frac{a+b}{m+n}$
$(b+c)(a+b+c) = n^2$ ...(3)
$(a+b)(a+b+c) = n(m+n)$ ...(4)
(3)+ (1) $ \ \ \ (a+b+c)^2 = n^2+m(m+n)$
$(a+b+c) = \sqrt{n^2+mn+m^2} $
(3) - (2) $ \ \ \ b(a+b+c) = n^2-m^2$
$b = \frac{n^2-m^2}{\sqrt{n^2+mn+m^2}}$
พื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า = $\frac{\sqrt{3} }{4} (ด้าน)^2$
$\frac{พื้นที่สามเหลี่ยมABC}{พื้นที่สามเหลี่ยมDEF} = \frac{(n+m)^2}{(\frac{n^2-m^2}{\sqrt{n^2+mn+m^2}})^2}$
$= \frac{n^2+nm+m^2}{(n-m)^2}$